Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumdivc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumdivc 30425
Description: An extended sum divided by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumdivc.a (𝜑𝐴𝑉)
esumdivc.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumdivc.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
esumdivc (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumdivc
StepHypRef Expression
1 esumdivc.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 esumdivc.b . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3 1red 10218 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4 esumdivc.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
54rpred 12036 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
64rpne0d 12041 . . . . 5 (𝜑𝐶 ≠ 0)
7 rexdiv 29914 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (1 /𝑒 𝐶) = (1 / 𝐶))
83, 5, 6, 7syl3anc 1463 . . . 4 (𝜑 → (1 /𝑒 𝐶) = (1 / 𝐶))
9 ioorp 12415 . . . . . 6 (0(,)+∞) = ℝ+
10 ioossico 12426 . . . . . 6 (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
119, 10eqsstr3i 3765 . . . . 5 + ⊆ (0[,)+∞)
124rpreccld 12046 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
1311, 12sseldi 3730 . . . 4 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
148, 13eqeltrd 2827 . . 3 (𝜑 → (1 /𝑒 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
151, 2, 14esummulc1 30423 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
16 iccssxr 12420 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
172ralrimiva 3092 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
18 nfcv 2890 . . . . . 6 𝑘𝐴
1918esumcl 30372 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
201, 17, 19syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2116, 20sseldi 3730 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
22 xdivrec 29915 . . 3 ((Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (Σ*𝑘𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
2321, 5, 6, 22syl3anc 1463 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
2416, 2sseldi 3730 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
255adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
266adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
27 xdivrec 29915 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 /𝑒 𝐶) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1463 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 /𝑒 𝐶) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
2928esumeq2dv 30380 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
3015, 23, 293eqtr4d 2792 1 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  wral 3038  (class class class)co 6801  cr 10098  0cc0 10099  1c1 10100  +∞cpnf 10234  *cxr 10236   / cdiv 10847  +crp 11996   ·e cxmu 12109  (,)cioo 12339  [,)cico 12341  [,]cicc 12342   /𝑒 cxdiv 29905  Σ*cesum 30369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-fi 8470  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-ioo 12343  df-ioc 12344  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-hash 13283  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-rest 16256  df-topn 16257  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-topgen 16277  df-ordt 16334  df-xrs 16335  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-ps 17372  df-tsr 17373  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-mhm 17507  df-submnd 17508  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-fbas 19916  df-fg 19917  df-top 20872  df-topon 20889  df-topsp 20910  df-bases 20923  df-ntr 20997  df-nei 21075  df-cn 21204  df-cnp 21205  df-haus 21292  df-fil 21822  df-fm 21914  df-flim 21915  df-flf 21916  df-tsms 22102  df-xdiv 29906  df-esum 30370
This theorem is referenced by:  measdivcstOLD  30567  measdivcst  30568
  Copyright terms: Public domain W3C validator