Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcvg 30276
 Description: The sequence of partial sums of an extended sum converges to the whole sum. cf. fsumcvg2 14502. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvg.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
esumcvg.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
esumcvg.a ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
esumcvg.m (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
esumcvg (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝐴   𝑘,𝑛,𝐵   𝑘,𝑚,𝐹,𝑛   𝑘,𝐽,𝑛   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑚)   𝐽(𝑚)

Proof of Theorem esumcvg
Dummy variables 𝑙 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11761 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11446 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
3 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
4 rge0ssre 12318 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5 ax-resscn 10031 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
64, 5sstri 3645 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
7 esumcvg.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝐵)
87eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
98cbvralv 3201 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
10 rsp 2958 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ (0[,)+∞) → (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
119, 10sylbir 225 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
1211adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
1312imp 444 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
146, 13sseldi 3634 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1514adantlr 751 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
16 esumcvg.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
17 fzfid 12812 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ∈ Fin)
18 elfznn 12408 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ)
1918, 13sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
2019adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
2117, 20esumpfinval 30265 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
2221mpteq2dva 4777 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
2316, 22syl5eq 2697 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
246, 20sseldi 3634 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2517, 24fsumcl 14508 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ ℂ)
2623, 25fvmpt2d 6332 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
2726adantlr 751 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
281, 2, 3, 15, 27isumclim3 14534 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
29 esumcvg.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
3017, 20fsumrp0cl 29823 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,)+∞))
3121, 30eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,)+∞))
3231, 16fmptd 6425 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
3332adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
34 simplll 813 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝜑)
35 eqidd 2652 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵))
36 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚𝑚 = 𝑘)
37 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐴)
387, 36, 373imtr3i 280 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘𝐵 = 𝐴)
3938adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝐵 = 𝐴)
40 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
41 esumcvg.a . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
4235, 39, 40, 41fvmptd 6327 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐴)
4334, 42sylancom 702 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐴)
4413adantlr 751 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
45 elrege0 12316 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
4644, 45sylib 208 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
4746simpld 474 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
48 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...𝑛) ∈ V
49 simpll 805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
5018adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5149, 50, 41syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
5251ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
53 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(1...𝑛)
5453esumcl 30220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...𝑛) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
5548, 52, 54sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
5655, 16fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
57 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → 𝐹 Fn ℕ)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 Fn ℕ)
5958adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹 Fn ℕ)
60 1z 11445 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
61 seqfn 12853 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℤ → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn (ℤ‘1))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn (ℤ‘1)
631fneq2i 6024 . . . . . . . . . . . . 13 (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn ℕ ↔ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn (ℤ‘1))
6462, 63mpbir 221 . . . . . . . . . . . 12 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn ℕ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn ℕ)
66 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
6718, 42sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐴)
6866, 67sylancom 702 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐴)
69 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
7069, 1syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
7168, 70, 24fsumser 14505 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵))‘𝑛))
7226, 71eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵))‘𝑛))
7359, 65, 72eqfnfvd 6354 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹 = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)))
7473adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)))
7574, 3eqeltrrd 2731 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) ∈ dom ⇝ )
761, 2, 43, 47, 75isumrecl 14540 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ ℝ)
7746simprd 478 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
781, 2, 43, 47, 75, 77isumge0 14541 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
79 elrege0 12316 . . . . . . 7 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
8076, 78, 79sylanbrc 699 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
81 ssid 3657 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
8229, 33, 80, 81lmlimxrge0 30122 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹(⇝𝑡𝐽𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝐹 ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
8328, 82mpbird 247 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹(⇝𝑡𝐽𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
8416, 3syl5eqelr 2735 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ )
8522eleq1d 2715 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ ))
8685adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ ))
8784, 86mpbid 222 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ )
8844, 7, 87esumpcvgval 30268 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
8983, 88breqtrrd 4713 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
9032adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
91 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
9291nnzd 11519 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
93 uzid 11740 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
94 peano2uz 11779 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ𝑛) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ𝑛))
9592, 93, 943syl 18 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ𝑛))
96 simplll 813 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
9796, 13sylancom 702 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
9891, 95, 97esumpmono 30269 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
9926, 21eqtr4d 2688 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
10099adantlr 751 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
101 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑛 → (1...𝑙) = (1...𝑛))
102 esumeq1 30224 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑙) = (1...𝑛) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑛 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
104103cbvmptv 4783 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
10516, 104eqtr4i 2676 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
106105a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
107 simpr3 1089 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑙 = (𝑛 + 1))) → 𝑙 = (𝑛 + 1))
108 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑙 = (𝑛 + 1) → (1...𝑙) = (1...(𝑛 + 1)))
109 esumeq1 30224 . . . . . . . . 9 ((1...𝑙) = (1...(𝑛 + 1)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
110107, 108, 1093syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑙 = (𝑛 + 1))) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
1111103anassrs 1313 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑙 = (𝑛 + 1)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
11291peano2nnd 11075 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
113 ovex 6718 . . . . . . . 8 (1...(𝑛 + 1)) ∈ V
114 simp-4l 823 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝜑)
115 elfznn 12408 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
116115adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
117114, 116, 41syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
118117ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴 ∈ (0[,]+∞))
119 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑘(1...(𝑛 + 1))
120119esumcl 30220 . . . . . . . 8 (((1...(𝑛 + 1)) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴 ∈ (0[,]+∞))
121113, 118, 120sylancr 696 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴 ∈ (0[,]+∞))
122106, 111, 112, 121fvmptd 6327 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
12398, 100, 1223brtr4d 4717 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
124 simpr 476 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
12529, 90, 123, 124lmdvglim 30128 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
126 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
127 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑘
128 nnex 11064 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
129128a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ℕ ∈ V)
13041adantlr 751 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
131 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
132 simpll 805 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → (𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
133 inss1 3866 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝒫 ℕ ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ
134 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
135133, 134sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ)
136135elpwid 4203 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥 ⊆ ℕ)
137 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑥)
138136, 137sseldd 3637 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘 ∈ ℕ)
139132, 138, 13syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
140 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑥𝐴) = (𝑘𝑥𝐴)
141139, 140fmptd 6425 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → (𝑘𝑥𝐴):𝑥⟶(0[,)+∞))
142 esumpfinvallem 30264 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ (𝑘𝑥𝐴):𝑥⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg (𝑘𝑥𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐴)))
143131, 141, 142syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → (ℂfld Σg (𝑘𝑥𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐴)))
144 inss2 3867 . . . . . . . . . 10 (𝒫 ℕ ∩ Fin) ⊆ Fin
145144, 131sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
146132, 138, 14syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐴 ∈ ℂ)
147145, 146gsumfsum 19861 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → (ℂfld Σg (𝑘𝑥𝐴)) = Σ𝑘𝑥 𝐴)
148143, 147eqtr3d 2687 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐴)) = Σ𝑘𝑥 𝐴)
149126, 127, 129, 130, 148esumval 30236 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ))
150149adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ))
15190, 123, 124lmdvg 30127 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙)𝑦 < (𝐹𝑛))
152151r19.21bi 2961 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙)𝑦 < (𝐹𝑛))
153 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 ∈ ℕ → 𝑙 ∈ ℤ)
154 uzid 11740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 ∈ ℤ → 𝑙 ∈ (ℤ𝑙))
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 ∈ ℕ → 𝑙 ∈ (ℤ𝑙))
156 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑙 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑙) → 𝑛 = 𝑙)
157156fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑙 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑙) → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑙))
158157breq2d 4697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑙 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑙) → (𝑦 < (𝐹𝑛) ↔ 𝑦 < (𝐹𝑙)))
159155, 158rspcdv 3343 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙)𝑦 < (𝐹𝑛) → 𝑦 < (𝐹𝑙)))
160159reximia 3038 . . . . . . . . . 10 (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙)𝑦 < (𝐹𝑛) → ∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 < (𝐹𝑙))
161152, 160syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 < (𝐹𝑙))
162 simplr 807 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
16390ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
164 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑙 ∈ ℕ)
165163, 164ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) ∈ (0[,)+∞))
1664, 165sseldi 3634 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) ∈ ℝ)
167 ltle 10164 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑙) ∈ ℝ) → (𝑦 < (𝐹𝑙) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑙)))
168162, 166, 167syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝐹𝑙) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑙)))
16916a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
170 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑙 → (1...𝑛) = (1...𝑙))
171 esumeq1 30224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1...𝑛) = (1...𝑙) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑙 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
173172adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑙) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
174 esumex 30219 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ V
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ V)
176169, 173, 164, 175fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
177 fzfid 12812 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (1...𝑙) ∈ Fin)
178 simp-4l 823 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
179 elfznn 12408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑙) → 𝑘 ∈ ℕ)
180179adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → 𝑘 ∈ ℕ)
181178, 180, 13syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
182177, 181esumpfinval 30265 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
183176, 182eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
184183breq2d 4697 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ (𝐹𝑙) ↔ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
185168, 184sylibd 229 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝐹𝑙) → 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
186185reximdva 3046 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 < (𝐹𝑙) → ∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
187161, 186mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
188 fzssuz 12420 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑙) ⊆ (ℤ‘1)
189188, 1sseqtr4i 3671 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑙) ⊆ ℕ
190 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑙) ∈ V
191190elpw 4197 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...𝑙) ∈ 𝒫 ℕ ↔ (1...𝑙) ⊆ ℕ)
192189, 191mpbir 221 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑙) ∈ 𝒫 ℕ
193 fzfi 12811 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑙) ∈ Fin
194 elin 3829 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝑙) ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↔ ((1...𝑙) ∈ 𝒫 ℕ ∧ (1...𝑙) ∈ Fin))
195192, 193, 194mpbir2an 975 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑙) ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)
196 sumex 14462 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ V
197 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)
198 sumeq1 14463 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (1...𝑙) → Σ𝑘𝑥 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
199197, 198elrnmpt1s 5405 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑙) ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ V) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴))
200195, 196, 199mp2an 708 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)
201 nfv 1883 . . . . . . . . . . 11 𝑧 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴
202 breq2 4689 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 → (𝑦𝑧𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
203201, 202rspce 3335 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
204200, 203mpan 706 . . . . . . . . 9 (𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
205204rexlimivw 3058 . . . . . . . 8 (∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
206187, 205syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
207206ralrimiva 2995 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
208 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
209144, 208sseldi 3634 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
210139adantllr 755 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
2114, 210sseldi 3634 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
212209, 211fsumrecl 14509 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐴 ∈ ℝ)
213212rexrd 10127 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐴 ∈ ℝ*)
214213, 197fmptd 6425 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴):(𝒫 ℕ ∩ Fin)⟶ℝ*)
215 frn 6091 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴):(𝒫 ℕ ∩ Fin)⟶ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴) ⊆ ℝ*)
216 supxrunb1 12187 . . . . . . 7 (ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴) ⊆ ℝ* → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧 ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ) = +∞))
217214, 215, 2163syl 18 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧 ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ) = +∞))
218207, 217mpbid 222 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ) = +∞)
219150, 218eqtrd 2685 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = +∞)
220125, 219breqtrrd 4713 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
22189, 220pm2.61dan 849 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
22216reseq1i 5424 . . . . . . . 8 (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘))
223 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
224223anbi2d 740 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑘 → ((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑘 ∈ ℕ)))
225 sbequ12r 2150 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑘 → ([𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞ ↔ 𝐴 = +∞))
226224, 225anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = +∞)))
227 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑘 → (ℤ𝑙) = (ℤ𝑘))
228227reseq2d 5428 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑘 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘)))
229227xpeq1d 5172 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑘 → ((ℤ𝑙) × {+∞}) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))
230228, 229eqeq12d 2666 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((ℤ𝑙) × {+∞}) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})))
231226, 230imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑘 → ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((ℤ𝑙) × {+∞})) ↔ (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))))
232 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝜑𝑙 ∈ ℕ)
233 nfs1v 2465 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘[𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞
234232, 233nfan 1868 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞)
235 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)
236234, 235nfan 1868 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙))
237 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → (1...𝑛) ∈ V)
238 simp-4l 823 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
23918adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
240238, 239, 41syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
241 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑙 ∈ ℕ)
242 elnnuz 11762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 ∈ ℕ ↔ 𝑙 ∈ (ℤ‘1))
243 eluzfz 12375 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑙 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑙 ∈ (1...𝑛))
244242, 243sylanb 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑙 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑙 ∈ (1...𝑛))
245241, 244sylancom 702 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑙 ∈ (1...𝑛))
246 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞)
247 sbequ12 2149 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐴 = +∞ ↔ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞))
248233, 247rspce 3335 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑙 ∈ (1...𝑛) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ∃𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞)
249245, 246, 248syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → ∃𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞)
250236, 237, 240, 249esumpinfval 30263 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞)
251250ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞)
252 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → (ℤ𝑙) = (ℤ𝑙))
253 mpteq12 4769 . . . . . . . . . . . 12 (((ℤ𝑙) = (ℤ𝑙) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ +∞))
254252, 253sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ +∞))
255 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → 𝑙 ∈ ℕ)
256 uznnssnn 11773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 ∈ ℕ → (ℤ𝑙) ⊆ ℕ)
257 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℤ𝑙) ⊆ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
258255, 256, 2573syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
259258adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
260 fconstmpt 5197 . . . . . . . . . . . 12 ((ℤ𝑙) × {+∞}) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ +∞)
261260a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → ((ℤ𝑙) × {+∞}) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ +∞))
262254, 259, 2613eqtr4d 2695 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((ℤ𝑙) × {+∞}))
263251, 262mpdan 703 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((ℤ𝑙) × {+∞}))
264231, 263chvarv 2299 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))
265222, 264syl5eq 2697 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))
266265ex 449 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 = +∞ → (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})))
267266reximdva 3046 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞ → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})))
268267imp 444 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))
269 xrge0topn 30117 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
27029, 269eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
271 letopon 21057 . . . . . . . . . . 11 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
272 iccssxr 12294 . . . . . . . . . . 11 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
273 resttopon 21013 . . . . . . . . . . 11 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
274271, 272, 273mp2an 708 . . . . . . . . . 10 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
275270, 274eqeltri 2726 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
276275a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
277 0xr 10124 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
278 pnfxr 10130 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
279 0lepnf 12004 . . . . . . . . . 10 0 ≤ +∞
280 ubicc2 12327 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
281277, 278, 279, 280mp3an 1464 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ (0[,]+∞)
282281a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
28340nnzd 11519 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
284 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑘) = (ℤ𝑘)
285284lmconst 21113 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)) ∧ +∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑘) × {+∞})(⇝𝑡𝐽)+∞)
286276, 282, 283, 285syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℤ𝑘) × {+∞})(⇝𝑡𝐽)+∞)
287 breq1 4688 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ ((ℤ𝑘) × {+∞})(⇝𝑡𝐽)+∞))
288287biimprd 238 . . . . . . 7 ((𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}) → (((ℤ𝑘) × {+∞})(⇝𝑡𝐽)+∞ → (𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞))
289286, 288mpan9 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞)
290 ovexd 6720 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (0[,]+∞) ∈ V)
291 cnex 10055 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
292291a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ℂ ∈ V)
29356adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
294 nnsscn 11063 . . . . . . . . . 10 ℕ ⊆ ℂ
295294a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ℕ ⊆ ℂ)
296 elpm2r 7917 . . . . . . . . 9 ((((0[,]+∞) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ ℕ ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ ((0[,]+∞) ↑pm ℂ))
297290, 292, 293, 295, 296syl22anc 1367 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ ((0[,]+∞) ↑pm ℂ))
298276, 297, 283lmres 21152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞))
299298biimpar 501 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
300289, 299syldan 486 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
301300r19.29an 3106 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
302268, 301syldan 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
303 nfv 1883 . . . . 5 𝑘𝜑
304 nfre1 3034 . . . . 5 𝑘𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞
305303, 304nfan 1868 . . . 4 𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞)
306128a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → ℕ ∈ V)
30741adantlr 751 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
308 simpr 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞)
309305, 306, 307, 308esumpinfval 30263 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = +∞)
310302, 309breqtrrd 4713 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → 𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
311 eleq1 2718 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ ℕ))
312311anbi2d 740 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑚 ∈ ℕ)))
3137eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
314312, 313imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
315314, 41chvarv 2299 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
316 eliccelico 29667 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞)))
317277, 278, 279, 316mp3an 1464 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞))
318315, 317sylib 208 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞))
319318ralrimiva 2995 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞))
320 r19.30 3111 . . . 4 (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞) → (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝐵 = +∞))
321319, 320syl 17 . . 3 (𝜑 → (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝐵 = +∞))
3227eqeq1d 2653 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 = +∞ ↔ 𝐵 = +∞))
323322cbvrexv 3202 . . . 4 (∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞ ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝐵 = +∞)
324323orbi2i 540 . . 3 ((∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) ↔ (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝐵 = +∞))
325321, 324sylibr 224 . 2 (𝜑 → (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞))
326221, 310, 325mpjaodan 844 1 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523  [wsb 1937   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  dom cdm 5143  ran crn 5144   ↾ cres 5145   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑pm cpm 7900  Fincfn 7997  supcsup 8387  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  +∞cpnf 10109  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  ℕcn 11058  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  seqcseq 12841   ⇝ cli 14259  Σcsu 14460   ↾s cress 15905   ↾t crest 16128  TopOpenctopn 16129   Σg cgsu 16148  ordTopcordt 16206  ℝ*𝑠cxrs 16207  ℂfldccnfld 19794  TopOnctopon 20763  ⇝𝑡clm 21078  Σ*cesum 30217 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-ordt 16208  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-plusf 17288  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-lmod 18913  df-scaf 18914  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-tmd 21923  df-tgp 21924  df-tsms 21977  df-trg 22010  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nrg 22437  df-nlm 22438  df-ii 22727  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-esum 30218 This theorem is referenced by:  esumcvg2  30277
 Copyright terms: Public domain W3C validator