Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcst 30253
 Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcst.1 𝑘𝐴
esumcst.2 𝑘𝐵
Assertion
Ref Expression
esumcst ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
Distinct variable group:   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumcst
Dummy variables 𝑎 𝑙 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumcst.1 . . . . 5 𝑘𝐴
21nfel1 2808 . . . 4 𝑘 𝐴𝑉
3 esumcst.2 . . . . 5 𝑘𝐵
43nfel1 2808 . . . 4 𝑘 𝐵 ∈ (0[,]+∞)
52, 4nfan 1868 . . 3 𝑘(𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6 simpl 472 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴𝑉)
7 simplr 807 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8 xrge0tmd 30120 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
9 tmdmnd 21926 . . . . . . 7 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
1110a1i 11 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
12 inss2 3867 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
13 simpr 476 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
1412, 13sseldi 3634 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
15 simplr 807 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16 xrge0base 29813 . . . . . 6 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
17 eqid 2651 . . . . . 6 (.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = (.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
183, 16, 17gsumconstf 18381 . . . . 5 (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((#‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵))
1911, 14, 15, 18syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((#‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵))
20 hashcl 13185 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝑥) ∈ ℕ0)
2114, 20syl 17 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (#‘𝑥) ∈ ℕ0)
22 xrge0mulgnn0 29817 . . . . 5 (((#‘𝑥) ∈ ℕ0𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((#‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
2321, 15, 22syl2anc 694 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((#‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
2419, 23eqtrd 2685 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
255, 1, 6, 7, 24esumval 30236 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ))
26 nn0ssre 11334 . . . . . . . . . 10 0 ⊆ ℝ
27 ressxr 10121 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
2826, 27sstri 3645 . . . . . . . . 9 0 ⊆ ℝ*
29 pnfxr 10130 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
30 snssi 4371 . . . . . . . . . 10 (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {+∞} ⊆ ℝ*
3228, 31unssi 3821 . . . . . . . 8 (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
33 hashf 13165 . . . . . . . . 9 #:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
34 vex 3234 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
35 ffvelrn 6397 . . . . . . . . 9 ((#:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) ∧ 𝑥 ∈ V) → (#‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
3633, 34, 35mp2an 708 . . . . . . . 8 (#‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})
3732, 36sselii 3633 . . . . . . 7 (#‘𝑥) ∈ ℝ*
3837a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (#‘𝑥) ∈ ℝ*)
39 iccssxr 12294 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
40 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4139, 40sseldi 3634 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4241adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4338, 42xmulcld 12170 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
44 eqid 2651 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
4543, 44fmptd 6425 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
46 frn 6091 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ⊆ ℝ*)
4745, 46syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ⊆ ℝ*)
48 hashxrcl 13186 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℝ*)
4948adantr 480 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (#‘𝐴) ∈ ℝ*)
5049, 41xmulcld 12170 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
51 vex 3234 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
5244elrnmpt 5404 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
5453biimpi 206 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
5549adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (#‘𝐴) ∈ ℝ*)
56 0xr 10124 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ ℝ*)
5829a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → +∞ ∈ ℝ*)
59 iccgelb 12268 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
6057, 58, 15, 59syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ 𝐵)
6142, 60jca 553 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
626adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴𝑉)
63 inss1 3866 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
6463sseli 3632 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
65 elpwi 4201 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
6613, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
67 ssdomg 8043 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
6862, 66, 67sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
69 hashdomi 13207 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (#‘𝑥) ≤ (#‘𝐴))
7068, 69syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (#‘𝑥) ≤ (#‘𝐴))
71 xlemul1a 12156 . . . . . . . 8 ((((#‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (#‘𝑥) ≤ (#‘𝐴)) → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
7238, 55, 61, 70, 71syl31anc 1369 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
7372ralrimiva 2995 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
74 r19.29r 3102 . . . . . 6 ((∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)))
7554, 73, 74syl2anr 494 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)))
76 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
77 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
7876, 77eqbrtrd 4707 . . . . . 6 ((𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
7978rexlimivw 3058 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
8075, 79syl 17 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
8180ralrimiva 2995 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
82 pwidg 4206 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
8382ancri 574 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
84 elin 3829 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
8583, 84sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
86 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝐴) ·e 𝐵)
87 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → (#‘𝑥) = (#‘𝐴))
8887oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) = ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
8988eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ↔ ((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝐴) ·e 𝐵)))
9089rspcev 3340 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
9186, 90mpan2 707 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
92 ovex 6718 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ V
9344elrnmpt 5404 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ V → (((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
9591, 94sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
9685, 95syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
9796adantl 481 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
98 simplr 807 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
99 breq2 4689 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((#‘𝐴) ·e 𝐵) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)))
10099rspcev 3340 . . . . . . 7 ((((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
10197, 98, 100syl2anc 694 . . . . . 6 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
102 0elpw 4864 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
103 0fin 8229 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ Fin
104 elin 3829 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
105102, 103, 104mpbir2an 975 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
106105a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
107 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
108107oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((#‘∅) ·e 𝐵) = ((#‘∅) ·e 0))
109 hash0 13196 . . . . . . . . . . . . 13 (#‘∅) = 0
110109, 56eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . 12 (#‘∅) ∈ ℝ*
111 xmul01 12135 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘∅) ∈ ℝ* → ((#‘∅) ·e 0) = 0)
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((#‘∅) ·e 0) = 0
113108, 112syl6req 2702 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 0 = ((#‘∅) ·e 𝐵))
114 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (#‘𝑥) = (#‘∅))
115114oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) = ((#‘∅) ·e 𝐵))
116115eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (0 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ↔ 0 = ((#‘∅) ·e 𝐵)))
117116rspcev 3340 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 = ((#‘∅) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
118106, 113, 117syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
119 ovex 6718 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∈ V
12044, 119elrnmpti 5408 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
121118, 120sylibr 224 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
122 simpllr 815 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
123107oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝐴) ·e 0))
12449ad4antr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → (#‘𝐴) ∈ ℝ*)
125 xmul01 12135 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) ∈ ℝ* → ((#‘𝐴) ·e 0) = 0)
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((#‘𝐴) ·e 0) = 0)
127123, 126eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((#‘𝐴) ·e 𝐵) = 0)
128122, 127breqtrd 4711 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 < 0)
129 breq2 4689 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 0 → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 0))
130129rspcev 3340 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < 0) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
131121, 128, 130syl2anc 694 . . . . . . 7 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
132 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
133 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → (#‘𝑎) = 𝑛)
134 simp-4r 824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ)
135133, 134eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → (#‘𝑎) ∈ ℕ)
136 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑎) ∈ ℕ → (#‘𝑎) ∈ ℕ0)
137 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑎 ∈ V
138 hashclb 13187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ V → (𝑎 ∈ Fin ↔ (#‘𝑎) ∈ ℕ0))
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ Fin ↔ (#‘𝑎) ∈ ℕ0)
140136, 139sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑎) ∈ ℕ → 𝑎 ∈ Fin)
141135, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ Fin)
142132, 141elind 3831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
143 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑎) ·e 𝐵))
144 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑎 → (#‘𝑥) = (#‘𝑎))
145144oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) = ((#‘𝑎) ·e 𝐵))
146145eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → (((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ↔ ((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑎) ·e 𝐵)))
147146rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑎) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
148142, 143, 147syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
14944, 119elrnmpti 5408 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
150148, 149sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ((#‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
151 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
152 simp-8r 832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 ∈ ℝ)
153134nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℝ)
154 simp-5r 826 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝐵 ∈ ℝ+)
155152, 153, 154ltdivmul2d 11962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛𝑦 < (𝑛 · 𝐵)))
156151, 155mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 < (𝑛 · 𝐵))
157133oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ((#‘𝑎) ·e 𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵))
158154rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝐵 ∈ ℝ)
159 rexmul 12139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
160153, 158, 159syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
161157, 160eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ((#‘𝑎) ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
162156, 161breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 < ((#‘𝑎) ·e 𝐵))
163 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ((#‘𝑎) ·e 𝐵) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < ((#‘𝑎) ·e 𝐵)))
164163rspcev 3340 . . . . . . . . . . . 12 ((((#‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < ((#‘𝑎) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
165150, 162, 164syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
166165ex 449 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → ((#‘𝑎) = 𝑛 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
167166rexlimdva 3060 . . . . . . . . 9 ((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) → (∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
168167impr 648 . . . . . . . 8 ((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
169 simp-4r 824 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
170 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
171169, 170rerpdivcld 11941 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ)
172 arch 11327 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
173171, 172syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
174 ishashinf 13285 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛)
175174ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛)
176 r19.29r 3102 . . . . . . . . 9 ((∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛))
177173, 175, 176syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛))
178168, 177r19.29a 3107 . . . . . . 7 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
179 nfielex 8230 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑙 𝑙𝐴)
180179adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑙 𝑙𝐴)
181 snelpwi 4942 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙𝐴 → {𝑙} ∈ 𝒫 𝐴)
182 snfi 8079 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑙} ∈ Fin
183181, 182jctir 560 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙𝐴 → ({𝑙} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ {𝑙} ∈ Fin))
184 elin 3829 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ({𝑙} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ {𝑙} ∈ Fin))
185183, 184sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙𝐴 → {𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
186185adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → {𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
187 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → 𝐵 = +∞)
188187oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → ((#‘{𝑙}) ·e 𝐵) = ((#‘{𝑙}) ·e +∞))
189 hashsng 13197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙𝐴 → (#‘{𝑙}) = 1)
190 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
19127, 190sselii 3633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ*
192189, 191syl6eqel 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙𝐴 → (#‘{𝑙}) ∈ ℝ*)
193 0lt1 10588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
194193, 189syl5breqr 4723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙𝐴 → 0 < (#‘{𝑙}))
195 xmulpnf1 12142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘{𝑙}) ∈ ℝ* ∧ 0 < (#‘{𝑙})) → ((#‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
196192, 194, 195syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙𝐴 → ((#‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
197196adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → ((#‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
198188, 197eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → +∞ = ((#‘{𝑙}) ·e 𝐵))
199 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = {𝑙} → (#‘𝑥) = (#‘{𝑙}))
200199oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = {𝑙} → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) = ((#‘{𝑙}) ·e 𝐵))
201200eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = {𝑙} → (+∞ = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ↔ +∞ = ((#‘{𝑙}) ·e 𝐵)))
202201rspcev 3340 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ +∞ = ((#‘{𝑙}) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
203186, 198, 202syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
204180, 203exlimddv 1903 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
205204adantll 750 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
20644, 119elrnmpti 5408 . . . . . . . . 9 (+∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
207205, 206sylibr 224 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
208 simp-4r 824 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
209 ltpnf 11992 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
210208, 209syl 17 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝑦 < +∞)
211 breq2 4689 . . . . . . . . 9 (𝑧 = +∞ → (𝑦 < 𝑧𝑦 < +∞))
212211rspcev 3340 . . . . . . . 8 ((+∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < +∞) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
213207, 210, 212syl2anc 694 . . . . . . 7 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
214 simp-4r 824 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
215 elxrge02 29768 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℝ+𝐵 = +∞))
216214, 215sylib 208 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℝ+𝐵 = +∞))
217131, 178, 213, 216mpjao3dan 1435 . . . . . 6 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
218101, 217pm2.61dan 849 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
219218ex 449 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
220219ralrimiva 2995 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
221 supxr2 12182 . . 3 (((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ⊆ ℝ* ∧ ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ) = ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
22247, 50, 81, 220, 221syl22anc 1367 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ) = ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
22325, 222eqtrd 2685 1 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∨ w3o 1053   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030  Ⅎwnfc 2780  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ran crn 5144  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ≼ cdom 7995  Fincfn 7997  supcsup 8387  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   / cdiv 10722  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  ℝ+crp 11870   ·e cxmu 11983  [,]cicc 12216  #chash 13157   ↾s cress 15905   Σg cgsu 16148  ℝ*𝑠cxrs 16207  Mndcmnd 17341  .gcmg 17587  TopMndctmd 21921  Σ*cesum 30217 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-ordt 16208  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-plusf 17288  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-lmod 18913  df-scaf 18914  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-tmd 21923  df-tgp 21924  df-tsms 21977  df-trg 22010  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nrg 22437  df-nlm 22438  df-ii 22727  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-esum 30218 This theorem is referenced by:  esumpinfval  30263  esumpinfsum  30267
 Copyright terms: Public domain W3C validator