Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcocn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcocn 30451
Description: Lemma for esummulc2 30453 and co. Composing with a continuous function preserves extended sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcocn.j 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
esumcocn.a (𝜑𝐴𝑉)
esumcocn.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumcocn.1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
esumcocn.0 (𝜑 → (𝐶‘0) = 0)
esumcocn.f ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶𝑥) +𝑒 (𝐶𝑦)))
Assertion
Ref Expression
esumcocn (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘𝐴𝐵) = Σ*𝑘𝐴(𝐶𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑦,𝑘,𝐶   𝑘,𝑉   𝜑,𝑥,𝑦,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem esumcocn
StepHypRef Expression
1 nfv 1992 . . 3 𝑘𝜑
2 nfcv 2902 . . 3 𝑘𝐴
3 esumcocn.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
4 esumcocn.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5 xrge0tps 30297 . . . . . . . 8 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
6 xrge0base 29994 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
7 esumcocn.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
8 xrge0topn 30298 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
97, 8eqtr4i 2785 . . . . . . . . 9 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
106, 9tpsuni 20942 . . . . . . . 8 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp → (0[,]+∞) = 𝐽)
115, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 (0[,]+∞) = 𝐽
1211, 11cnf 21252 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
134, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
1413adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
15 esumcocn.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
1614, 15ffvelrnd 6523 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶𝐵) ∈ (0[,]+∞))
17 xrge0cmn 19990 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
195a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
20 cmnmnd 18408 . . . . . . . 8 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
2117, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
23 esumcocn.f . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶𝑥) +𝑒 (𝐶𝑦)))
24233expib 1117 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶𝑥) +𝑒 (𝐶𝑦))))
2524ralrimivv 3108 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶𝑥) +𝑒 (𝐶𝑦)))
26 esumcocn.0 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶‘0) = 0)
27 xrge0plusg 29996 . . . . . . . 8 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
28 xrge00 29995 . . . . . . . 8 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
296, 6, 27, 27, 28, 28ismhm 17538 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) ↔ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶𝑥) +𝑒 (𝐶𝑦)) ∧ (𝐶‘0) = 0)))
3029biimpri 218 . . . . . 6 ((((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶𝑥) +𝑒 (𝐶𝑦)) ∧ (𝐶‘0) = 0)) → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
3122, 22, 13, 25, 26, 30syl23anc 1484 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
32 eqidd 2761 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵))
3332, 15fmpt3d 6549 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
341, 2, 3, 15esumel 30418 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)))
356, 9, 9, 18, 19, 18, 19, 31, 4, 3, 33, 34tsmsmhm 22150 . . . 4 (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘𝐴𝐵) ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝐶 ∘ (𝑘𝐴𝐵))))
3613, 15cofmpt 6562 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑘𝐴𝐵)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝐶𝐵)))
3736oveq2d 6829 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝐶 ∘ (𝑘𝐴𝐵))) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴 ↦ (𝐶𝐵))))
3835, 37eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘𝐴𝐵) ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴 ↦ (𝐶𝐵))))
391, 2, 3, 16, 38esumid 30415 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴(𝐶𝐵) = (𝐶‘Σ*𝑘𝐴𝐵))
4039eqcomd 2766 1 (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘𝐴𝐵) = Σ*𝑘𝐴(𝐶𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050   cuni 4588  cmpt 4881  ccom 5270  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  cle 10267   +𝑒 cxad 12137  [,]cicc 12371  s cress 16060  t crest 16283  TopOpenctopn 16284  ordTopcordt 16361  *𝑠cxrs 16362  Mndcmnd 17495   MndHom cmhm 17534  CMndccmn 18393  TopSpctps 20938   Cn ccn 21230   tsums ctsu 22130  Σ*cesum 30398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-xadd 12140  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-ordt 16363  df-xrs 16364  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-ntr 21026  df-nei 21104  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-tsms 22131  df-esum 30399
This theorem is referenced by:  esummulc1  30452
  Copyright terms: Public domain W3C validator