Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumc 30422
 Description: Convert from the collection form to the class-variable form of a sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumc.0 𝑘𝐷
esumc.1 𝑘𝜑
esumc.2 𝑘𝐴
esumc.3 (𝑦 = 𝐶𝐷 = 𝐵)
esumc.4 (𝜑𝐴𝑉)
esumc.5 (𝜑 → Fun (𝑘𝐴𝐶))
esumc.6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumc.7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶𝑊)
Assertion
Ref Expression
esumc (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}𝐷)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑘,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑊(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem esumc
StepHypRef Expression
1 esumc.1 . . 3 𝑘𝜑
2 esumc.0 . . 3 𝑘𝐷
3 nfcv 2902 . . 3 𝑦𝐵
4 nfre1 3143 . . . 4 𝑘𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶
54nfab 2907 . . 3 𝑘{𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}
6 esumc.2 . . 3 𝑘𝐴
7 nfmpt1 4899 . . 3 𝑘(𝑘𝐴𝐶)
8 esumc.3 . . 3 (𝑦 = 𝐶𝐷 = 𝐵)
9 esumc.4 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
10 elex 3352 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
126, 11abrexexd 29654 . . 3 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} ∈ V)
13 esumc.7 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶𝑊)
1413ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶𝑊))
151, 14ralrimi 3095 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶𝑊)
166fnmptf 6177 . . . . 5 (∀𝑘𝐴 𝐶𝑊 → (𝑘𝐴𝐶) Fn 𝐴)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶) Fn 𝐴)
18 esumc.5 . . . 4 (𝜑 → Fun (𝑘𝐴𝐶))
19 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
2019rnmpt 5526 . . . . 5 ran (𝑘𝐴𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑘𝐴𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶})
22 dff1o2 6303 . . . 4 ((𝑘𝐴𝐶):𝐴1-1-onto→{𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} ↔ ((𝑘𝐴𝐶) Fn 𝐴 ∧ Fun (𝑘𝐴𝐶) ∧ ran (𝑘𝐴𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}))
2317, 18, 21, 22syl3anbrc 1429 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴1-1-onto→{𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶})
24 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
256fvmpt2f 6445 . . . 4 ((𝑘𝐴𝐶𝑊) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
2624, 13, 25syl2anc 696 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
27 vex 3343 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
28 eqeq1 2764 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = 𝐶𝑦 = 𝐶))
2928rexbidv 3190 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶 ↔ ∃𝑘𝐴 𝑦 = 𝐶))
3027, 29elab 3490 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} ↔ ∃𝑘𝐴 𝑦 = 𝐶)
318reximi 3149 . . . . 5 (∃𝑘𝐴 𝑦 = 𝐶 → ∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵)
3230, 31sylbi 207 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} → ∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵)
33 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑘(0[,]+∞)
342, 33nfel 2915 . . . . . 6 𝑘 𝐷 ∈ (0[,]+∞)
35 esumc.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
36 eleq1 2827 . . . . . . . 8 (𝐷 = 𝐵 → (𝐷 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
3735, 36syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐷 = 𝐵𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
3837ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴 → (𝐷 = 𝐵𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
391, 34, 38rexlimd 3164 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
4039imp 444 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
4132, 40sylan2 492 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
421, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 23, 26, 41esumf1o 30421 . 2 (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}𝐷 = Σ*𝑘𝐴𝐵)
4342eqcomd 2766 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632  Ⅎwnf 1857   ∈ wcel 2139  {cab 2746  Ⅎwnfc 2889  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  Vcvv 3340   ↦ cmpt 4881  ◡ccnv 5265  ran crn 5267  Fun wfun 6043   Fn wfn 6044  –1-1-onto→wf1o 6048  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  [,]cicc 12371  Σ*cesum 30398 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-xadd 12140  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-ordt 16363  df-xrs 16364  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-ntr 21026  df-nei 21104  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-tsms 22131  df-esum 30399 This theorem is referenced by:  esumrnmpt  30423  esum2dlem  30463  measvunilem  30584  omssubadd  30671
 Copyright terms: Public domain W3C validator