Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esum0 30341
 Description: Extended sum of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esum0.k 𝑘𝐴
Assertion
Ref Expression
esum0 (𝐴𝑉 → Σ*𝑘𝐴0 = 0)
Distinct variable group:   𝑘,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem esum0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum0.k . . . 4 𝑘𝐴
21nfel1 2881 . . 3 𝑘 𝐴𝑉
3 id 22 . . 3 (𝐴𝑉𝐴𝑉)
4 0e0iccpnf 12397 . . . 4 0 ∈ (0[,]+∞)
54a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝑘𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
6 xrge0cmn 19911 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
7 cmnmnd 18329 . . . . . 6 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
9 vex 3307 . . . . 5 𝑥 ∈ V
10 xrge00 29916 . . . . . 6 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
1110gsumz 17496 . . . . 5 (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥 ↦ 0)) = 0)
128, 9, 11mp2an 710 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥 ↦ 0)) = 0
1312a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥 ↦ 0)) = 0)
142, 1, 3, 5, 13esumval 30338 . 2 (𝐴𝑉 → Σ*𝑘𝐴0 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ))
15 fconstmpt 5272 . . . . . . 7 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
1615eqcomi 2733 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0})
17 0xr 10199 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1817rgenw 3026 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 ∈ ℝ*
19 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
2019fnmpt 6133 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
2118, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
22 0elpw 4939 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
23 0fin 8304 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ Fin
24 elin 3904 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
2522, 23, 24mpbir2an 993 . . . . . . . 8 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
2625ne0ii 4031 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅
27 fconst5 6587 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅) → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0}))
2821, 26, 27mp2an 710 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
2916, 28mpbi 220 . . . . 5 ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0}
3029a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
3130supeq1d 8468 . . 3 (𝐴𝑉 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
32 xrltso 12088 . . . 4 < Or ℝ*
33 supsn 8494 . . . 4 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3432, 17, 33mp2an 710 . . 3 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
3531, 34syl6eq 2774 . 2 (𝐴𝑉 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ) = 0)
3614, 35eqtrd 2758 1 (𝐴𝑉 → Σ*𝑘𝐴0 = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  Ⅎwnfc 2853   ≠ wne 2896  ∀wral 3014  Vcvv 3304   ∩ cin 3679  ∅c0 4023  𝒫 cpw 4266  {csn 4285   ↦ cmpt 4837   Or wor 5138   × cxp 5216  ran crn 5219   Fn wfn 5996  (class class class)co 6765  Fincfn 8072  supcsup 8462  0cc0 10049  +∞cpnf 10184  ℝ*cxr 10186   < clt 10187  [,]cicc 12292   ↾s cress 15981   Σg cgsu 16224  ℝ*𝑠cxrs 16283  Mndcmnd 17416  CMndccmn 18314  Σ*cesum 30319 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-xadd 12061  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-hash 13233  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-ordt 16284  df-xrs 16285  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-ps 17322  df-tsr 17323  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-ntr 20947  df-nei 21025  df-cn 21154  df-haus 21242  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-tsms 22052  df-esum 30320 This theorem is referenced by:  esumpad  30347  esumrnmpt2  30360  measvunilem0  30506  ddemeas  30529
 Copyright terms: Public domain W3C validator