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Theorem estrreslem2 17000
Description: Lemma 2 for estrres 17001. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
estrres.c (𝜑𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
estrres.b (𝜑𝐵𝑉)
estrres.h (𝜑𝐻𝑋)
estrres.x (𝜑·𝑌)
Assertion
Ref Expression
estrreslem2 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐶)

Proof of Theorem estrreslem2
StepHypRef Expression
1 eqidd 2762 . . . 4 (𝜑 → (Base‘ndx) = (Base‘ndx))
213mix1d 1421 . . 3 (𝜑 → ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (Hom ‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (comp‘ndx)))
3 fvex 6364 . . . 4 (Base‘ndx) ∈ V
4 eltpg 4372 . . . 4 ((Base‘ndx) ∈ V → ((Base‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (Hom ‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (comp‘ndx))))
53, 4mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ((Base‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (Hom ‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (comp‘ndx))))
62, 5mpbird 247 . 2 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)})
7 df-tp 4327 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩})
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
98dmeqd 5482 . . . 4 (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = dom ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
10 dmun 5487 . . . . 5 dom ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}) = (dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩})
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → dom ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}) = (dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
12 estrres.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑉)
13 estrres.h . . . . . 6 (𝜑𝐻𝑋)
14 dmpropg 5768 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝐻𝑋) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} = {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)})
1512, 13, 14syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} = {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)})
16 estrres.x . . . . . 6 (𝜑·𝑌)
17 dmsnopg 5766 . . . . . 6 ( ·𝑌 → dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩} = {(comp‘ndx)})
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩} = {(comp‘ndx)})
1915, 18uneq12d 3912 . . . 4 (𝜑 → (dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩}) = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)}))
209, 11, 193eqtrd 2799 . . 3 (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)}))
21 estrres.c . . . 4 (𝜑𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
2221dmeqd 5482 . . 3 (𝜑 → dom 𝐶 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
23 df-tp 4327 . . . 4 {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)})
2423a1i 11 . . 3 (𝜑 → {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)}))
2520, 22, 243eqtr4d 2805 . 2 (𝜑 → dom 𝐶 = {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)})
266, 25eleqtrrd 2843 1 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3o 1071   = wceq 1632  wcel 2140  Vcvv 3341  cun 3714  {csn 4322  {cpr 4324  {ctp 4326  cop 4328  dom cdm 5267  cfv 6050  ndxcnx 16077  Basecbs 16080  Hom chom 16175  compcco 16176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pr 5056
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-dm 5277  df-iota 6013  df-fv 6058
This theorem is referenced by:  estrres  17001
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