Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngmul-rN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngmul-rN 36623
Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
erngset.h-r 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erngset.t-r 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngset.e-r 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngset.d-r 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
erng.m-r · = (.r𝐷)
Assertion
Ref Expression
erngmul-rN (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑈 · 𝑉) = (𝑉𝑈))

Proof of Theorem erngmul-rN
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erngset.h-r . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 erngset.t-r . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 erngset.e-r . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 erngset.d-r . . . . 5 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
5 erng.m-r . . . . 5 · = (.r𝐷)
61, 2, 3, 4, 5erngfmul-rN 36622 . . . 4 ((𝐾𝑋𝑊𝐻) → · = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠)))
76adantr 466 . . 3 (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → · = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠)))
87oveqd 6810 . 2 (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑈 · 𝑉) = (𝑈(𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠))𝑉))
9 coexg 7264 . . . . 5 ((𝑉𝐸𝑈𝐸) → (𝑉𝑈) ∈ V)
109ancoms 455 . . . 4 ((𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑉𝑈) ∈ V)
11 coeq2 5419 . . . . 5 (𝑠 = 𝑈 → (𝑡𝑠) = (𝑡𝑈))
12 coeq1 5418 . . . . 5 (𝑡 = 𝑉 → (𝑡𝑈) = (𝑉𝑈))
13 eqid 2771 . . . . 5 (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠)) = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠))
1411, 12, 13ovmpt2g 6942 . . . 4 ((𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑉𝑈) ∈ V) → (𝑈(𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠))𝑉) = (𝑉𝑈))
1510, 14mpd3an3 1573 . . 3 ((𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈(𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠))𝑉) = (𝑉𝑈))
1615adantl 467 . 2 (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑈(𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠))𝑉) = (𝑉𝑈))
178, 16eqtrd 2805 1 (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑈 · 𝑉) = (𝑉𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  ccom 5253  cfv 6031  (class class class)co 6793  cmpt2 6795  .rcmulr 16150  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909  TEndoctendo 36561  EDRingRcedring-rN 36563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-edring-rN 36565
This theorem is referenced by:  erngdvlem3-rN  36807  erngdvlem4-rN  36808
  Copyright terms: Public domain W3C validator