Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem4-rN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngdvlem4-rN 36808
 Description: Lemma for erngdv 36802. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d-r 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.b-r 𝐵 = (Base‘𝐾)
ernggrplem.t-r 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.e-r 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.p-r 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
ernggrplem.o-r 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
ernggrplem.i-r 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
erngrnglem.m-r 𝑀 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎))
edlemk6.j-r = (join‘𝐾)
edlemk6.m-r = (meet‘𝐾)
edlemk6.r-r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
edlemk6.p-r 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
edlemk6.z-r 𝑍 = ((𝑄 (𝑅𝑏)) ((𝑄) (𝑅‘(𝑏(𝑠)))))
edlemk6.y-r 𝑌 = ((𝑄 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
edlemk6.x-r 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠)) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑄) = 𝑌))
edlemk6.u-r 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if((𝑠) = , 𝑔, 𝑋))
Assertion
Ref Expression
erngdvlem4-rN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ DivRing)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝐷,𝑠   𝑎,𝑏,𝑠,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏,𝑠   𝑓,𝐻,𝑠   𝑂,𝑠   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑠   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓,𝑠   𝑃,𝑠   𝑔,𝑏,𝑧,   ,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏   𝑔,𝑠,𝐵,𝑧   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝑔,𝐾,𝑧   𝑀,𝑠   𝑃,𝑔,𝑧   𝑄,𝑏,𝑔,𝑧   𝑅,𝑏,𝑔,𝑧   𝑇,𝑔,𝑧   𝑔,𝑊,𝑧   𝑧,𝑌   𝑔,𝑍   𝑓,𝑔,𝑧   ,𝑏,𝑔,𝑠,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(,𝑎)   𝐷(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑓,,𝑠,𝑎)   𝑅(𝑓,,𝑠,𝑎)   𝑇()   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑧,𝑓,𝑔,)   𝐻(,𝑎)   𝐼(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   (𝑓,,𝑠,𝑎)   𝐾()   𝑀(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑎,𝑏)   (𝑓,,𝑠,𝑎)   𝑂(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑎,𝑏)   𝑊()   𝑋(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑓,,𝑠,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem4-rN
Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 ernggrplem.t-r . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 ernggrplem.e-r . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 ernggrp.d-r . . . . 5 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 36618 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
76eqcomd 2777 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
87adantr 466 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
9 eqid 2771 . . . . 5 (.r𝐷) = (.r𝐷)
101, 2, 3, 4, 9erngfmul-rN 36622 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (.r𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎)))
11 erngrnglem.m-r . . . 4 𝑀 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎))
1210, 11syl6reqr 2824 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑀 = (.r𝐷))
1312adantr 466 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑀 = (.r𝐷))
14 ernggrplem.b-r . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
15 ernggrplem.o-r . . . . . . 7 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
1614, 1, 2, 3, 15tendo0cl 36599 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
1716, 6eleqtrrd 2853 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐷))
18 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (+g𝐷) = (+g𝐷)
191, 2, 3, 4, 18erngfplus-rN 36619 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
20 ernggrplem.p-r . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
2119, 20syl6reqr 2824 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑃 = (+g𝐷))
2221oveqd 6810 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂𝑃𝑂) = (𝑂(+g𝐷)𝑂))
2314, 1, 2, 3, 15, 20tendo0pl 36600 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑂𝐸) → (𝑂𝑃𝑂) = 𝑂)
2416, 23mpdan 667 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂𝑃𝑂) = 𝑂)
2522, 24eqtr3d 2807 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂(+g𝐷)𝑂) = 𝑂)
26 ernggrplem.i-r . . . . . . 7 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
271, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26erngdvlem1-rN 36805 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
28 eqid 2771 . . . . . . 7 (0g𝐷) = (0g𝐷)
295, 18, 28isgrpid2 17666 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Grp → ((𝑂 ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝑂(+g𝐷)𝑂) = 𝑂) ↔ (0g𝐷) = 𝑂))
3027, 29syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑂 ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝑂(+g𝐷)𝑂) = 𝑂) ↔ (0g𝐷) = 𝑂))
3117, 25, 30mpbi2and 691 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g𝐷) = 𝑂)
3231eqcomd 2777 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂 = (0g𝐷))
3332adantr 466 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑂 = (0g𝐷))
341, 2, 3tendoidcl 36578 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
3534, 6eleqtrrd 2853 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷))
366eleq2d 2836 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑢 ∈ (Base‘𝐷) ↔ 𝑢𝐸))
37 simpl 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3834adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
39 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → 𝑢𝐸)
401, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 36623 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸𝑢𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
4137, 38, 39, 40syl12anc 1474 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
421, 2, 3tendo1mulr 36580 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)
4341, 42eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢)
441, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 36623 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢))
4537, 39, 38, 44syl12anc 1474 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢))
461, 2, 3tendo1mul 36579 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢) = 𝑢)
4745, 46eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)
4843, 47jca 501 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → ((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢))
4948ex 397 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑢𝐸 → ((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)))
5036, 49sylbid 230 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑢 ∈ (Base‘𝐷) → ((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)))
5150ralrimiv 3114 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢))
521, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26, 11erngdvlem3-rN 36807 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
53 eqid 2771 . . . . . . 7 (1r𝐷) = (1r𝐷)
545, 9, 53isringid 18781 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Ring → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)) ↔ (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
5552, 54syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)) ↔ (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
5635, 51, 55mpbi2and 691 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇))
5756eqcomd 2777 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) = (1r𝐷))
5857adantr 466 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝑇) = (1r𝐷))
5952adantr 466 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ Ring)
60 simp1l 1239 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6112oveqd 6810 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
6260, 61syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
63 simp2l 1241 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → 𝑠𝐸)
64 simp3l 1243 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → 𝑡𝐸)
651, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 36623 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
6660, 63, 64, 65syl12anc 1474 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
6762, 66eqtrd 2805 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑡𝑠))
68 simp3 1132 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑡𝐸𝑡𝑂))
69 simp2 1131 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠𝐸𝑠𝑂))
7014, 1, 2, 3, 15tendoconid 36638 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑡𝑠) ≠ 𝑂)
7160, 68, 69, 70syl3anc 1476 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑡𝑠) ≠ 𝑂)
7267, 71eqnetrd 3010 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠𝑀𝑡) ≠ 𝑂)
7314, 1, 2, 3, 15tendo1ne0 36637 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
7473adantr 466 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
75 simpll 750 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
76 simplrl 762 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑇)
77 simpr 471 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠𝐸𝑠𝑂))
78 edlemk6.j-r . . . . 5 = (join‘𝐾)
79 edlemk6.m-r . . . . 5 = (meet‘𝐾)
80 edlemk6.r-r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
81 edlemk6.p-r . . . . 5 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
82 edlemk6.z-r . . . . 5 𝑍 = ((𝑄 (𝑅𝑏)) ((𝑄) (𝑅‘(𝑏(𝑠)))))
83 edlemk6.y-r . . . . 5 𝑌 = ((𝑄 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
84 edlemk6.x-r . . . . 5 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠)) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑄) = 𝑌))
85 edlemk6.u-r . . . . 5 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if((𝑠) = , 𝑔, 𝑋))
8614, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml6 36790 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇 ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑈𝐸 ∧ (𝑈‘(𝑠)) = ))
8786simpld 482 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇 ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑈𝐸)
8875, 76, 77, 87syl3anc 1476 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑈𝐸)
8914, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml9 36793 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑈𝑂)
90893expa 1111 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑈𝑂)
9112oveqd 6810 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀𝑈) = (𝑠(.r𝐷)𝑈))
9291ad2antrr 705 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠𝑀𝑈) = (𝑠(.r𝐷)𝑈))
93 simprl 754 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑠𝐸)
941, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 36623 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑈𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑈) = (𝑈𝑠))
9575, 93, 88, 94syl12anc 1474 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠(.r𝐷)𝑈) = (𝑈𝑠))
9614, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml8 36792 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑈𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
97963expa 1111 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑈𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
9895, 97eqtrd 2805 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠(.r𝐷)𝑈) = ( I ↾ 𝑇))
9992, 98eqtrd 2805 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠𝑀𝑈) = ( I ↾ 𝑇))
1008, 13, 33, 58, 59, 72, 74, 88, 90, 99isdrngrd 18983 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ DivRing)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  ifcif 4225   ↦ cmpt 4863   I cid 5156  ◡ccnv 5248   ↾ cres 5251   ∘ ccom 5253  ‘cfv 6031  ℩crio 6753  (class class class)co 6793   ↦ cmpt2 6795  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150  occoc 16157  0gc0g 16308  joincjn 17152  meetcmee 17153  Grpcgrp 17630  1rcur 18709  Ringcrg 18755  DivRingcdr 18957  HLchlt 35159  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909  trLctrl 35967  TEndoctendo 36561  EDRingRcedring-rN 36563 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-riotaBAD 34761 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-undef 7551  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tendo 36564  df-edring-rN 36565 This theorem is referenced by:  erngdv-rN  36810
 Copyright terms: Public domain W3C validator