Theorem erng0g 36803

Description: The division ring zero of an endomorphism ring. (Contributed by NM, 5-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
erng0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
erng0g.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erng0g.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erng0g.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erng0g.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
erng0g.z	⊢ 0 = (0g‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
erng0g	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = 𝑂)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑂(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem erng0g

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erng0g.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erng0g.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		erng0g.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngfplus 36611	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐷) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))))
7	6	oveqd 6810	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(+g‘𝐷)𝑂) = (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))𝑂))
8		erng0g.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		erng0g.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
10	8, 1, 2, 3, 9	tendo0cl 36599	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
11		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
12	8, 1, 2, 3, 9, 11	tendo0pl 36600	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))𝑂) = 𝑂)
13	10, 12	mpdan 667	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))𝑂) = 𝑂)
14	7, 13	eqtrd 2805	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(+g‘𝐷)𝑂) = 𝑂)
15	1, 4	eringring 36801	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
16		ringgrp 18760	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
18		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
19	1, 2, 3, 4, 18	erngbase 36610	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
20	10, 19	eleqtrrd 2853	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐷))
21		erng0g.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
22	18, 5, 21	grpid 17665	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝑂(+g‘𝐷)𝑂) = 𝑂 ↔ 0 = 𝑂))
23	17, 20, 22	syl2anc 573	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑂(+g‘𝐷)𝑂) = 𝑂 ↔ 0 = 𝑂))
24	14, 23	mpbid 222	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 4863   I cid 5156   ↾ cres 5251   ∘ ccom 5253  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↦ cmpt2 6795  Basecbs 16064  +_gcplusg 16149  0_gc0g 16308  Grpcgrp 17630  Ringcrg 18755  HLchlt 35159  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909  TEndoctendo 36561  EDRingcedring 36562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-riotaBAD 34761

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-undef 7551  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-mgp 18698  df-ring 18757  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tendo 36564  df-edring 36566

This theorem is referenced by:  erng1r  36804  dvalveclem  36835  tendoinvcl  36914  tendolinv  36915  tendorinv  36916  cdlemn4  37008