Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem2 31300
 Description: Lemma for erdsze 31310. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
erdszelem1.1 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}
Assertion
Ref Expression
erdszelem2 ((# “ 𝑆) ∈ Fin ∧ (# “ 𝑆) ⊆ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐹   𝑦,𝑂
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem erdszelem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 12811 . . . . 5 (1...𝐴) ∈ Fin
2 pwfi 8302 . . . . 5 ((1...𝐴) ∈ Fin ↔ 𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin)
31, 2mpbi 220 . . . 4 𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin
4 erdszelem1.1 . . . . 5 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}
5 ssrab2 3720 . . . . 5 {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} ⊆ 𝒫 (1...𝐴)
64, 5eqsstri 3668 . . . 4 𝑆 ⊆ 𝒫 (1...𝐴)
7 ssfi 8221 . . . 4 ((𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 (1...𝐴)) → 𝑆 ∈ Fin)
83, 6, 7mp2an 708 . . 3 𝑆 ∈ Fin
9 hashf 13165 . . . . 5 #:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
10 ffun 6086 . . . . 5 (#:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun #)
119, 10ax-mp 5 . . . 4 Fun #
12 ssv 3658 . . . . 5 𝑆 ⊆ V
139fdmi 6090 . . . . 5 dom # = V
1412, 13sseqtr4i 3671 . . . 4 𝑆 ⊆ dom #
15 fores 6162 . . . 4 ((Fun # ∧ 𝑆 ⊆ dom #) → (# ↾ 𝑆):𝑆onto→(# “ 𝑆))
1611, 14, 15mp2an 708 . . 3 (# ↾ 𝑆):𝑆onto→(# “ 𝑆)
17 fofi 8293 . . 3 ((𝑆 ∈ Fin ∧ (# ↾ 𝑆):𝑆onto→(# “ 𝑆)) → (# “ 𝑆) ∈ Fin)
188, 16, 17mp2an 708 . 2 (# “ 𝑆) ∈ Fin
19 funimass4 6286 . . . 4 ((Fun # ∧ 𝑆 ⊆ dom #) → ((# “ 𝑆) ⊆ ℕ ↔ ∀𝑥𝑆 (#‘𝑥) ∈ ℕ))
2011, 14, 19mp2an 708 . . 3 ((# “ 𝑆) ⊆ ℕ ↔ ∀𝑥𝑆 (#‘𝑥) ∈ ℕ)
214erdszelem1 31299 . . . 4 (𝑥𝑆 ↔ (𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥))
22 ne0i 3954 . . . . . 6 (𝐴𝑥𝑥 ≠ ∅)
23223ad2ant3 1104 . . . . 5 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
24 simp1 1081 . . . . . . 7 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 ⊆ (1...𝐴))
25 ssfi 8221 . . . . . . 7 (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝐴)) → 𝑥 ∈ Fin)
261, 24, 25sylancr 696 . . . . . 6 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
27 hashnncl 13195 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin → ((#‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
2826, 27syl 17 . . . . 5 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → ((#‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
2923, 28mpbird 247 . . . 4 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → (#‘𝑥) ∈ ℕ)
3021, 29sylbi 207 . . 3 (𝑥𝑆 → (#‘𝑥) ∈ ℕ)
3120, 30mprgbir 2956 . 2 (# “ 𝑆) ⊆ ℕ
3218, 31pm3.2i 470 1 ((# “ 𝑆) ∈ Fin ∧ (# “ 𝑆) ⊆ ℕ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  dom cdm 5143   ↾ cres 5145   “ cima 5146  Fun wfun 5920  ⟶wf 5922  –onto→wfo 5924  ‘cfv 5926   Isom wiso 5927  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  1c1 9975  +∞cpnf 10109   < clt 10112  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  ...cfz 12364  #chash 13157 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158 This theorem is referenced by:  erdszelem5  31303  erdszelem6  31304  erdszelem7  31305  erdszelem8  31306
 Copyright terms: Public domain W3C validator