Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem11 31511
 Description: Lemma for erdsze 31512. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.i 𝐼 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.t 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨(𝐼𝑛), (𝐽𝑛)⟩)
erdszelem.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
erdszelem.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
erdszelem.m (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
erdszelem11 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑛,𝑠,𝑥,𝑦,𝐹   𝑛,𝐼,𝑠,𝑥,𝑦   𝑛,𝐽,𝑠,𝑥,𝑦   𝑅,𝑠,𝑥,𝑦   𝑛,𝑁,𝑠,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑠,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑥,𝑦   𝑇,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem erdszelem11
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 erdsze.f . . . 4 (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
3 erdszelem.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
4 erdszelem.j . . . 4 𝐽 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
5 erdszelem.t . . . 4 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨(𝐼𝑛), (𝐽𝑛)⟩)
6 erdszelem.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
7 erdszelem.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
8 erdszelem.m . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < 𝑁)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8erdszelem10 31510 . . 3 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (1...𝑁)(¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))))
101adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
112adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
12 ltso 10330 . . . . . . 7 < Or ℝ
13 simprl 811 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → 𝑚 ∈ (1...𝑁))
146adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → 𝑅 ∈ ℕ)
15 simprr 813 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))
1610, 11, 3, 12, 13, 14, 15erdszelem7 31507 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))
1716expr 644 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
181adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
192adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
20 gtso 10331 . . . . . . 7 < Or ℝ
21 simprl 811 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → 𝑚 ∈ (1...𝑁))
227adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → 𝑆 ∈ ℕ)
23 simprr 813 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))
2418, 19, 4, 20, 21, 22, 23erdszelem7 31507 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))
2524expr 644 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
2617, 25orim12d 919 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (1...𝑁)) → ((¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))))
2726rexlimdva 3169 . . 3 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ (1...𝑁)(¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))))
289, 27mpd 15 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
29 r19.43 3231 . 2 (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
3028, 29sylibr 224 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051  {crab 3054  𝒫 cpw 4302  ⟨cop 4327   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ◡ccnv 5265   ↾ cres 5268   “ cima 5269  –1-1→wf1 6046  ‘cfv 6049   Isom wiso 6050  (class class class)co 6814  supcsup 8513  ℝcr 10147  1c1 10149   · cmul 10153   < clt 10286   ≤ cle 10287   − cmin 10478  ℕcn 11232  ...cfz 12539  ♯chash 13331 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-hash 13332 This theorem is referenced by:  erdsze  31512
 Copyright terms: Public domain W3C validator