Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdsze2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdsze2lem2 31312
Description: Lemma for erdsze2 31313. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze2.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
erdsze2.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
erdsze2.f (𝜑𝐹:𝐴1-1→ℝ)
erdsze2.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
erdsze2lem.n 𝑁 = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
erdsze2lem.l (𝜑𝑁 < (#‘𝐴))
erdsze2lem.g (𝜑𝐺:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴)
erdsze2lem.i (𝜑𝐺 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝐺))
Assertion
Ref Expression
erdsze2lem2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝑁,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem erdsze2lem2
Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze2lem.n . . . . 5 𝑁 = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
2 erdsze2.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
3 nnm1nn0 11372 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℕ → (𝑅 − 1) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 − 1) ∈ ℕ0)
5 erdsze2.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
6 nnm1nn0 11372 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ ℕ → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
84, 7nn0mulcld 11394 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) ∈ ℕ0)
91, 8syl5eqel 2734 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
10 nn0p1nn 11370 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
12 erdsze2.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴1-1→ℝ)
13 erdsze2lem.g . . . 4 (𝜑𝐺:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴)
14 f1co 6148 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1→ℝ ∧ 𝐺:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴) → (𝐹𝐺):(1...(𝑁 + 1))–1-1→ℝ)
1512, 13, 14syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐺):(1...(𝑁 + 1))–1-1→ℝ)
169nn0red 11390 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1716ltp1d 10992 . . . 4 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 1))
181, 17syl5eqbrr 4721 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (𝑁 + 1))
1911, 15, 2, 5, 18erdsze 31310 . 2 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝒫 (1...(𝑁 + 1))((𝑅 ≤ (#‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) ∨ (𝑆 ≤ (#‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))))
20 selpw 4198 . . . 4 (𝑡 ∈ 𝒫 (1...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1)))
21 imassrn 5512 . . . . . . . 8 (𝐺𝑡) ⊆ ran 𝐺
22 f1f 6139 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝐺:(1...(𝑁 + 1))⟶𝐴)
2313, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:(1...(𝑁 + 1))⟶𝐴)
24 frn 6091 . . . . . . . . 9 (𝐺:(1...(𝑁 + 1))⟶𝐴 → ran 𝐺𝐴)
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐺𝐴)
2621, 25syl5ss 3647 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑡) ⊆ 𝐴)
27 erdsze2.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
28 reex 10065 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
29 ssexg 4837 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
3027, 28, 29sylancl 695 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ V)
31 elpw2g 4857 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → ((𝐺𝑡) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐺𝑡) ⊆ 𝐴))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝑡) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐺𝑡) ⊆ 𝐴))
3326, 32mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝑡) ∈ 𝒫 𝐴)
3433adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡) ∈ 𝒫 𝐴)
35 vex 3234 . . . . . . . . . . . 12 𝑡 ∈ V
3635f1imaen 8059 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡) ≈ 𝑡)
3713, 36sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡) ≈ 𝑡)
38 fzfid 12812 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
39 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1)))
40 ssfi 8221 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ∧ 𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑡 ∈ Fin)
4138, 39, 40syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑡 ∈ Fin)
42 enfii 8218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ Fin ∧ (𝐺𝑡) ≈ 𝑡) → (𝐺𝑡) ∈ Fin)
4341, 37, 42syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡) ∈ Fin)
44 hashen 13175 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑡) ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ Fin) → ((#‘(𝐺𝑡)) = (#‘𝑡) ↔ (𝐺𝑡) ≈ 𝑡))
4543, 41, 44syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((#‘(𝐺𝑡)) = (#‘𝑡) ↔ (𝐺𝑡) ≈ 𝑡))
4637, 45mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (#‘(𝐺𝑡)) = (#‘𝑡))
4746breq2d 4697 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑅 ≤ (#‘(𝐺𝑡)) ↔ 𝑅 ≤ (#‘𝑡)))
4847biimprd 238 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑅 ≤ (#‘𝑡) → 𝑅 ≤ (#‘(𝐺𝑡))))
49 erdsze2lem.i . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝐺))
5049ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → 𝐺 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝐺))
5139adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → 𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1)))
52 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → 𝑥𝑡)
5351, 52sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
54 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → 𝑦𝑡)
5551, 54sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → 𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
56 isorel 6616 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1)))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
5750, 53, 55, 56syl12anc 1364 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
5857biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
5958ralrimivva 3000 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ∀𝑥𝑡𝑦𝑡 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
60 elfznn 12408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑡 ∈ ℕ)
6160nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
6261ssriv 3640 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (1...(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ)
64 ltso 10156 . . . . . . . . . . . . 13 < Or ℝ
65 soss 5082 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or (1...(𝑁 + 1))))
6663, 64, 65mpisyl 21 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → < Or (1...(𝑁 + 1)))
6727adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
68 soss 5082 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
6967, 64, 68mpisyl 21 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → < Or 𝐴)
7023adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐺:(1...(𝑁 + 1))⟶𝐴)
71 soisores 6617 . . . . . . . . . . . 12 ((( < Or (1...(𝑁 + 1)) ∧ < Or 𝐴) ∧ (𝐺:(1...(𝑁 + 1))⟶𝐴𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1)))) → ((𝐺𝑡) Isom < , < (𝑡, (𝐺𝑡)) ↔ ∀𝑥𝑡𝑦𝑡 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))))
7266, 69, 70, 39, 71syl22anc 1367 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝐺𝑡) Isom < , < (𝑡, (𝐺𝑡)) ↔ ∀𝑥𝑡𝑦𝑡 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))))
7359, 72mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡) Isom < , < (𝑡, (𝐺𝑡)))
74 isocnv 6620 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑡) Isom < , < (𝑡, (𝐺𝑡)) → (𝐺𝑡) Isom < , < ((𝐺𝑡), 𝑡))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡) Isom < , < ((𝐺𝑡), 𝑡))
76 isotr 6626 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝑡) Isom < , < ((𝐺𝑡), 𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))
7776ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑡) Isom < , < ((𝐺𝑡), 𝑡) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
7875, 77syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
79 resco 5677 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) = (𝐹 ∘ (𝐺𝑡))
8079coeq1i 5314 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = ((𝐹 ∘ (𝐺𝑡)) ∘ (𝐺𝑡))
81 coass 5692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∘ (𝐺𝑡)) ∘ (𝐺𝑡)) = (𝐹 ∘ ((𝐺𝑡) ∘ (𝐺𝑡)))
8280, 81eqtri 2673 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = (𝐹 ∘ ((𝐺𝑡) ∘ (𝐺𝑡)))
83 f1ores 6189 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡):𝑡1-1-onto→(𝐺𝑡))
8413, 83sylan 487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡):𝑡1-1-onto→(𝐺𝑡))
85 f1ococnv2 6201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺𝑡):𝑡1-1-onto→(𝐺𝑡) → ((𝐺𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = ( I ↾ (𝐺𝑡)))
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝐺𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = ( I ↾ (𝐺𝑡)))
8786coeq2d 5317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹 ∘ ((𝐺𝑡) ∘ (𝐺𝑡))) = (𝐹 ∘ ( I ↾ (𝐺𝑡))))
88 coires1 5691 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∘ ( I ↾ (𝐺𝑡))) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡))
8987, 88syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹 ∘ ((𝐺𝑡) ∘ (𝐺𝑡))) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)))
9082, 89syl5eq 2697 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)))
91 isoeq1 6607 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) → ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
9290, 91syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
93 imaco 5678 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐺) “ 𝑡) = (𝐹 “ (𝐺𝑡))
94 isoeq5 6611 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐺) “ 𝑡) = (𝐹 “ (𝐺𝑡)) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡))))
9692, 95syl6bb 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
9778, 96sylibd 229 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) → (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
9848, 97anim12d 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑅 ≤ (#‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) → (𝑅 ≤ (#‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡))))))
9946breq2d 4697 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑆 ≤ (#‘(𝐺𝑡)) ↔ 𝑆 ≤ (#‘𝑡)))
10099biimprd 238 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑆 ≤ (#‘𝑡) → 𝑆 ≤ (#‘(𝐺𝑡))))
101 isotr 6626 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝑡) Isom < , < ((𝐺𝑡), 𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))
102101ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑡) Isom < , < ((𝐺𝑡), 𝑡) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
10375, 102syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
104 isoeq1 6607 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) → ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
10590, 104syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
106 isoeq5 6611 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐺) “ 𝑡) = (𝐹 “ (𝐺𝑡)) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
10793, 106ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡))))
108105, 107syl6bb 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
109103, 108sylibd 229 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) → (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
110100, 109anim12d 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 ≤ (#‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) → (𝑆 ≤ (#‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡))))))
11198, 110orim12d 901 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑅 ≤ (#‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) ∨ (𝑆 ≤ (#‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))) → ((𝑅 ≤ (#‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))) ∨ (𝑆 ≤ (#‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))))
112 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → (#‘𝑠) = (#‘(𝐺𝑡)))
113112breq2d 4697 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐺𝑡) → (𝑅 ≤ (#‘𝑠) ↔ 𝑅 ≤ (#‘(𝐺𝑡))))
114 reseq2 5423 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐺𝑡) → (𝐹𝑠) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)))
115 isoeq1 6607 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑠) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) → ((𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))
116114, 115syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))
117 isoeq4 6610 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹𝑠))))
118 imaeq2 5497 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐺𝑡) → (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝐺𝑡)))
119 isoeq5 6611 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝐺𝑡)) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
121116, 117, 1203bitrd 294 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
122113, 121anbi12d 747 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝑅 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ↔ (𝑅 ≤ (#‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡))))))
123112breq2d 4697 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐺𝑡) → (𝑆 ≤ (#‘𝑠) ↔ 𝑆 ≤ (#‘(𝐺𝑡))))
124 isoeq1 6607 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑠) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) → ((𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))
125114, 124syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))
126 isoeq4 6610 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹𝑠))))
127 isoeq5 6611 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝐺𝑡)) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
128118, 127syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
129125, 126, 1283bitrd 294 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
130123, 129anbi12d 747 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝑆 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ↔ (𝑆 ≤ (#‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡))))))
131122, 130orbi12d 746 . . . . . 6 (𝑠 = (𝐺𝑡) → (((𝑅 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))) ↔ ((𝑅 ≤ (#‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))) ∨ (𝑆 ≤ (#‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))))
132131rspcev 3340 . . . . 5 (((𝐺𝑡) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝑅 ≤ (#‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))) ∨ (𝑆 ≤ (#‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
13334, 111, 132syl6an 567 . . . 4 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑅 ≤ (#‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) ∨ (𝑆 ≤ (#‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))))
13420, 133sylan2b 491 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ 𝒫 (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑅 ≤ (#‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) ∨ (𝑆 ≤ (#‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))))
135134rexlimdva 3060 . 2 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝒫 (1...(𝑁 + 1))((𝑅 ≤ (#‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) ∨ (𝑆 ≤ (#‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))))
13619, 135mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607  𝒫 cpw 4191   class class class wbr 4685   I cid 5052   Or wor 5063  ccnv 5142  ran crn 5144  cres 5145  cima 5146  ccom 5147  wf 5922  1-1wf1 5923  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926   Isom wiso 5927  (class class class)co 6690  cen 7994  Fincfn 7997  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  ...cfz 12364  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  erdsze2  31313
  Copyright terms: Public domain W3C validator