MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqwrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqwrd 13543
Description: Two words are equal iff they have the same length and the same symbol at each position. (Contributed by AV, 13-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
eqwrd ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈𝑖) = (𝑊𝑖))))
Distinct variable groups:   𝑈,𝑖   𝑖,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem eqwrd
StepHypRef Expression
1 wrdfn 13515 . . 3 (𝑈 ∈ Word 𝑉𝑈 Fn (0..^(♯‘𝑈)))
2 wrdfn 13515 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
3 eqfnfv2 6457 . . 3 ((𝑈 Fn (0..^(♯‘𝑈)) ∧ 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈𝑖) = (𝑊𝑖))))
41, 2, 3syl2an 583 . 2 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈𝑖) = (𝑊𝑖))))
5 fveq2 6333 . . . . 5 ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
6 lencl 13520 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
7 hashfzo0 13419 . . . . . . 7 ((♯‘𝑈) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘𝑈))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘𝑈))
9 lencl 13520 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10 hashfzo0 13419 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
128, 11eqeqan12d 2787 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) ↔ (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
135, 12syl5ib 234 . . . 4 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
14 oveq2 6804 . . . 4 ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) → (0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)))
1513, 14impbid1 215 . . 3 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
1615anbi1d 615 . 2 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉) → (((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈𝑖) = (𝑊𝑖)) ↔ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈𝑖) = (𝑊𝑖))))
174, 16bitrd 268 1 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈𝑖) = (𝑊𝑖))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061   Fn wfn 6025  cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  0cn0 11499  ..^cfzo 12673  chash 13321  Word cword 13487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495
This theorem is referenced by:  eqs1  13592  swrdeq  13653  swrdspsleq  13658  2swrdeqwrdeq  13662  2cshw  13768  wwlktovf1  13910  eqwrds3  13914  wlkeq  26764  wwlkseq  27035  pfxeq  41929  pfxsuffeqwrdeq  41931  pfx2  41937  repswpfx  41961
  Copyright terms: Public domain W3C validator