Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  equivbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem equivbnd2 33916
Description: If balls are totally bounded in the metric 𝑀, then balls are totally bounded in the equivalent metric 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivbnd2.1 (𝜑𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd2.2 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd2.3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
equivbnd2.4 (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
equivbnd2.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
equivbnd2.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
equivbnd2.7 𝐶 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))
equivbnd2.8 𝐷 = (𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))
equivbnd2.9 (𝜑 → (𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)))
Assertion
Ref Expression
equivbnd2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem equivbnd2
StepHypRef Expression
1 totbndbnd 33913 . 2 (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌))
2 simpr 471 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌))
3 equivbnd2.7 . . . . . . 7 𝐶 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))
4 equivbnd2.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
54adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
6 equivbnd2.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
7 equivbnd2.8 . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))
87bnd2lem 33915 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌𝑋)
96, 8sylan 561 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌𝑋)
10 metres2 22387 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
115, 9, 10syl2anc 565 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
123, 11syl5eqel 2853 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑌))
13 equivbnd2.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
1413adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑆 ∈ ℝ+)
159sselda 3750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ 𝑥𝑌) → 𝑥𝑋)
169sselda 3750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
1715, 16anim12dan 597 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝑋𝑦𝑋))
18 equivbnd2.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
1918adantlr 686 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
2017, 19syldan 571 . . . . . . 7 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
213oveqi 6805 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥(𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦)
22 ovres 6946 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑌𝑦𝑌) → (𝑥(𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
2321, 22syl5eq 2816 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑌𝑦𝑌) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
2423adantl 467 . . . . . . 7 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
257oveqi 6805 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥(𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦)
26 ovres 6946 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑌𝑦𝑌) → (𝑥(𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
2725, 26syl5eq 2816 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑌𝑦𝑌) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
2827adantl 467 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
2928oveq2d 6808 . . . . . . 7 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑆 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
3020, 24, 293brtr4d 4816 . . . . . 6 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝐷𝑦)))
312, 12, 14, 30equivbnd 33914 . . . . 5 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌))
32 equivbnd2.9 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)))
3332biimpar 463 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌))
3431, 33syldan 571 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌))
35 bndmet 33905 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑌))
3635adantl 467 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑌))
37 equivbnd2.3 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
3837adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
39 equivbnd2.5 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
4039adantlr 686 . . . . . 6 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
4117, 40syldan 571 . . . . 5 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
4224oveq2d 6808 . . . . 5 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑅 · (𝑥𝐶𝑦)) = (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
4341, 28, 423brtr4d 4816 . . . 4 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐶𝑦)))
4434, 36, 38, 43equivtotbnd 33902 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌))
4544ex 397 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌)))
461, 45impbid2 216 1 (𝜑 → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wss 3721   class class class wbr 4784   × cxp 5247  cres 5251  cfv 6031  (class class class)co 6792   · cmul 10142  cle 10276  +crp 12034  Metcme 19946  TotBndctotbnd 33890  Bndcbnd 33891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-ec 7897  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-2 11280  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-icc 12386  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-totbnd 33892  df-bnd 33903
This theorem is referenced by:  rrntotbnd  33960
  Copyright terms: Public domain W3C validator