Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  equivbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem equivbnd 33871
Description: If the metric 𝑀 is "strongly finer" than 𝑁 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝑁(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝑀(𝑥, 𝑦)), then boundedness of 𝑀 implies boundedness of 𝑁. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then one is bounded iff the other is.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivbnd.1 (𝜑𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
equivbnd.2 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd.3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
equivbnd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
Assertion
Ref Expression
equivbnd (𝜑𝑁 ∈ (Bnd‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem equivbnd
Dummy variables 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 equivbnd.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
2 equivbnd.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
3 isbnd3b 33866 . . . . 5 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟))
43simprbi 483 . . . 4 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
52, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
6 equivbnd.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
76rpred 12036 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
8 remulcl 10184 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ)
97, 8sylan 489 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ)
10 bndmet 33862 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
112, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
1211adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
13 metcl 22309 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
14133expb 1113 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
1512, 14sylan 489 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
16 simplr 809 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
176ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
1815, 16, 17lemul2d 12080 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 ↔ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
19 equivbnd.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
2019adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
211adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
22 metcl 22309 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ)
23223expb 1113 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ)
2421, 23sylan 489 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ)
257ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
2625, 15remulcld 10233 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
279adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ)
28 letr 10294 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ) → (((𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
2924, 26, 27, 28syl3anc 1463 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
3020, 29mpand 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
3118, 30sylbid 230 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
3231ralimdvva 3090 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
33 breq2 4796 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝑅 · 𝑟) → ((𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠 ↔ (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
34332ralbidv 3115 . . . . . 6 (𝑠 = (𝑅 · 𝑟) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
3534rspcev 3437 . . . . 5 (((𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠)
369, 32, 35syl6an 569 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠))
3736rexlimdva 3157 . . 3 (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠))
385, 37mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠)
39 isbnd3b 33866 . 2 (𝑁 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠))
401, 38, 39sylanbrc 701 1 (𝜑𝑁 ∈ (Bnd‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wral 3038  wrex 3039   class class class wbr 4792  cfv 6037  (class class class)co 6801  cr 10098   · cmul 10104  cle 10238  +crp 11996  Metcme 19905  Bndcbnd 33848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-po 5175  df-so 5176  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-er 7899  df-ec 7901  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-2 11242  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-icc 12346  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-met 19913  df-bl 19914  df-bnd 33860
This theorem is referenced by:  equivbnd2  33873
  Copyright terms: Public domain W3C validator