MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqreznegel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqreznegel 11771
Description: Two ways to express the image under negation of a set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
eqreznegel (𝐴 ⊆ ℤ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧𝐴})
Distinct variable group:   𝑧,𝐴

Proof of Theorem eqreznegel
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3595 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℤ → (-𝑤𝐴 → -𝑤 ∈ ℤ))
2 recn 10023 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
3 negid 10325 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 + -𝑤) = 0)
4 0z 11385 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
53, 4syl6eqel 2708 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ)
65pm4.71i 664 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℂ ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ))
7 zrevaddcl 11419 . . . . . . . . . 10 (-𝑤 ∈ ℤ → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ) ↔ 𝑤 ∈ ℤ))
86, 7syl5bb 272 . . . . . . . . 9 (-𝑤 ∈ ℤ → (𝑤 ∈ ℂ ↔ 𝑤 ∈ ℤ))
92, 8syl5ib 234 . . . . . . . 8 (-𝑤 ∈ ℤ → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℤ))
101, 9syl6 35 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℤ → (-𝑤𝐴 → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℤ)))
1110com23 86 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑤 ∈ ℝ → (-𝑤𝐴𝑤 ∈ ℤ)))
1211impd 447 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ))
13 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑤𝐴)
1413a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑤𝐴))
1512, 14jcad 555 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴)))
16 zre 11378 . . . . 5 (𝑤 ∈ ℤ → 𝑤 ∈ ℝ)
1716anim1i 592 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴))
1815, 17impbid1 215 . . 3 (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴) ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴)))
19 negeq 10270 . . . . 5 (𝑧 = 𝑤 → -𝑧 = -𝑤)
2019eleq1d 2685 . . . 4 (𝑧 = 𝑤 → (-𝑧𝐴 ↔ -𝑤𝐴))
2120elrab 3361 . . 3 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴))
2220elrab 3361 . . 3 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴))
2318, 21, 223bitr4g 303 . 2 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧𝐴}))
2423eqrdv 2619 1 (𝐴 ⊆ ℤ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  {crab 2915  wss 3572  (class class class)co 6647  cc 9931  cr 9932  0cc0 9933   + caddc 9936  -cneg 10264  cz 11374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-n0 11290  df-z 11375
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator