MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqord1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqord1 10594
Description: Infer an ordering relation from a proof in only one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ltord.1 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
ltord.2 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
ltord.3 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
ltord.4 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
Assertion
Ref Expression
eqord1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem eqord1
StepHypRef Expression
1 ltord.1 . . . 4 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
2 ltord.2 . . . 4 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
3 ltord.3 . . . 4 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
4 ltord.4 . . . 4 𝑆 ⊆ ℝ
5 ltord.5 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 ltord.6 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
71, 2, 3, 4, 5, 6leord1 10593 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶𝐷𝑀𝑁))
81, 3, 2, 4, 5, 6leord1 10593 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑆𝐶𝑆)) → (𝐷𝐶𝑁𝑀))
98ancom2s 861 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐷𝐶𝑁𝑀))
107, 9anbi12d 747 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ((𝐶𝐷𝐷𝐶) ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
114sseli 3632 . . . 4 (𝐶𝑆𝐶 ∈ ℝ)
124sseli 3632 . . . 4 (𝐷𝑆𝐷 ∈ ℝ)
13 letri3 10161 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 = 𝐷 ↔ (𝐶𝐷𝐷𝐶)))
1411, 12, 13syl2an 493 . . 3 ((𝐶𝑆𝐷𝑆) → (𝐶 = 𝐷 ↔ (𝐶𝐷𝐷𝐶)))
1514adantl 481 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 = 𝐷 ↔ (𝐶𝐷𝐷𝐶)))
165ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
172eleq1d 2715 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
1817rspccva 3339 . . . . 5 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
1916, 18sylan 487 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
2019adantrr 753 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑀 ∈ ℝ)
213eleq1d 2715 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
2221rspccva 3339 . . . . 5 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2316, 22sylan 487 . . . 4 ((𝜑𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2423adantrl 752 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2520, 24letri3d 10217 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
2610, 15, 253bitr4d 300 1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wss 3607   class class class wbr 4685  cr 9973   < clt 10112  cle 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118
This theorem is referenced by:  eqord2  10597  expcan  12953  ovolicc2lem3  23333  rmyeq0  37837  rmyeq  37838
  Copyright terms: Public domain W3C validator