Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqlkr3 34910
 Description: Two functionals with the same kernel are equal if they are equal at any nonzero value. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
eqlkr3.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
eqlkr3.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
eqlkr3.o 0 = (0g𝑆)
eqlkr3.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
eqlkr3.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
eqlkr3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
eqlkr3.x (𝜑𝑋𝑉)
eqlkr3.g (𝜑𝐺𝐹)
eqlkr3.h (𝜑𝐻𝐹)
eqlkr3.e (𝜑 → (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻))
eqlkr3.a (𝜑 → (𝐺𝑋) = (𝐻𝑋))
eqlkr3.n (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
Assertion
Ref Expression
eqlkr3 (𝜑𝐺 = 𝐻)

Proof of Theorem eqlkr3
Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr3.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 eqlkr3.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
3 eqlkr3.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
4 eqlkr3.r . . . . 5 𝑅 = (Base‘𝑆)
5 eqlkr3.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 eqlkr3.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
73, 4, 5, 6lflf 34872 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝑅)
81, 2, 7syl2anc 573 . . 3 (𝜑𝐺:𝑉𝑅)
9 ffn 6185 . . 3 (𝐺:𝑉𝑅𝐺 Fn 𝑉)
108, 9syl 17 . 2 (𝜑𝐺 Fn 𝑉)
11 eqlkr3.h . . . 4 (𝜑𝐻𝐹)
123, 4, 5, 6lflf 34872 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐻𝐹) → 𝐻:𝑉𝑅)
131, 11, 12syl2anc 573 . . 3 (𝜑𝐻:𝑉𝑅)
14 ffn 6185 . . 3 (𝐻:𝑉𝑅𝐻 Fn 𝑉)
1513, 14syl 17 . 2 (𝜑𝐻 Fn 𝑉)
16 eqlkr3.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻))
17 eqid 2771 . . . . . . . 8 (.r𝑆) = (.r𝑆)
18 eqlkr3.k . . . . . . . 8 𝐾 = (LKer‘𝑊)
193, 4, 17, 5, 6, 18eqlkr 34908 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)) → ∃𝑟𝑅𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟))
201, 2, 11, 16, 19syl121anc 1481 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑟𝑅𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟))
21 eqlkr3.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑉)
2221adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟𝑅) → 𝑋𝑉)
23 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑋))
24 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑋))
2524oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟))
2623, 25eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) ↔ (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)))
2726rspcv 3456 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑉 → (∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) → (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)))
2822, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟𝑅) → (∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) → (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)))
29 eqlkr3.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺𝑋) = (𝐻𝑋))
3029adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟𝑅) → (𝐺𝑋) = (𝐻𝑋))
3130adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟𝑅) ∧ (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) → (𝐺𝑋) = (𝐻𝑋))
32 simpr 471 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟𝑅) ∧ (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) → (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟))
3331, 32eqtr2d 2806 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟𝑅) ∧ (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) → ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟) = (𝐺𝑋))
3433oveq2d 6809 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟𝑅) ∧ (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) → (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) = (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)(𝐺𝑋)))
353lvecdrng 19318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
361, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑆 ∈ DivRing)
3736adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟𝑅) → 𝑆 ∈ DivRing)
383, 4, 5, 6lflcl 34873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ 𝑅)
391, 2, 21, 38syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ 𝑅)
4039adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟𝑅) → (𝐺𝑋) ∈ 𝑅)
41 eqlkr3.n . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
4241adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟𝑅) → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
43 eqlkr3.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0g𝑆)
44 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r𝑆) = (1r𝑆)
45 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (invr𝑆) = (invr𝑆)
464, 43, 17, 44, 45drnginvrl 18976 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)(𝐺𝑋)) = (1r𝑆))
4737, 40, 42, 46syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟𝑅) → (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)(𝐺𝑋)) = (1r𝑆))
4847oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟𝑅) → ((((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)(𝐺𝑋))(.r𝑆)𝑟) = ((1r𝑆)(.r𝑆)𝑟))
49 lveclmod 19319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
501, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
513lmodring 19081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
5352adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
544, 43, 45drnginvrcl 18974 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((invr𝑆)‘(𝐺𝑋)) ∈ 𝑅)
5537, 40, 42, 54syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟𝑅) → ((invr𝑆)‘(𝐺𝑋)) ∈ 𝑅)
56 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟𝑅) → 𝑟𝑅)
574, 17ringass 18772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋)) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺𝑋) ∈ 𝑅𝑟𝑅)) → ((((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)(𝐺𝑋))(.r𝑆)𝑟) = (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)))
5853, 55, 40, 56, 57syl13anc 1478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟𝑅) → ((((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)(𝐺𝑋))(.r𝑆)𝑟) = (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)))
594, 17, 44ringlidm 18779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑟𝑅) → ((1r𝑆)(.r𝑆)𝑟) = 𝑟)
6053, 56, 59syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟𝑅) → ((1r𝑆)(.r𝑆)𝑟) = 𝑟)
6148, 58, 603eqtr3d 2813 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟𝑅) → (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) = 𝑟)
6261adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟𝑅) ∧ (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) → (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) = 𝑟)
6347adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟𝑅) ∧ (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) → (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)(𝐺𝑋)) = (1r𝑆))
6434, 62, 633eqtr3d 2813 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟𝑅) ∧ (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) → 𝑟 = (1r𝑆))
6564ex 397 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟𝑅) → ((𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟) → 𝑟 = (1r𝑆)))
6628, 65syld 47 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟𝑅) → (∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) → 𝑟 = (1r𝑆)))
6766ancrd 541 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟𝑅) → (∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) → (𝑟 = (1r𝑆) ∧ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟))))
6867reximdva 3165 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑟𝑅𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) → ∃𝑟𝑅 (𝑟 = (1r𝑆) ∧ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟))))
6920, 68mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑟𝑅 (𝑟 = (1r𝑆) ∧ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟)))
704, 44ringidcl 18776 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Ring → (1r𝑆) ∈ 𝑅)
7152, 70syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝑆) ∈ 𝑅)
72 oveq2 6801 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (1r𝑆) → ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)(1r𝑆)))
7372eqeq2d 2781 . . . . . . . 8 (𝑟 = (1r𝑆) → ((𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) ↔ (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)(1r𝑆))))
7473ralbidv 3135 . . . . . . 7 (𝑟 = (1r𝑆) → (∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) ↔ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)(1r𝑆))))
7574ceqsrexv 3486 . . . . . 6 ((1r𝑆) ∈ 𝑅 → (∃𝑟𝑅 (𝑟 = (1r𝑆) ∧ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟)) ↔ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)(1r𝑆))))
7671, 75syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑟𝑅 (𝑟 = (1r𝑆) ∧ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟)) ↔ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)(1r𝑆))))
7769, 76mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)(1r𝑆)))
7877r19.21bi 3081 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)(1r𝑆)))
7950adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
8079, 51syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑆 ∈ Ring)
811adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
822adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝐺𝐹)
83 simpr 471 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑥𝑉)
843, 4, 5, 6lflcl 34873 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑅)
8581, 82, 83, 84syl3anc 1476 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑅)
864, 17, 44ringridm 18780 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑅) → ((𝐺𝑥)(.r𝑆)(1r𝑆)) = (𝐺𝑥))
8780, 85, 86syl2anc 573 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝐺𝑥)(.r𝑆)(1r𝑆)) = (𝐺𝑥))
8878, 87eqtr2d 2806 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) = (𝐻𝑥))
8910, 15, 88eqfnfvd 6457 1 (𝜑𝐺 = 𝐻)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   Fn wfn 6026  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  Scalarcsca 16152  0gc0g 16308  1rcur 18709  Ringcrg 18755  invrcinvr 18879  DivRingcdr 18957  LModclmod 19073  LVecclvec 19315  LFnlclfn 34866  LKerclk 34894 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lvec 19316  df-lfl 34867  df-lkr 34895 This theorem is referenced by:  lcfl6lem  37308
 Copyright terms: Public domain W3C validator