MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqinf 8375
Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by AV, 2-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
infexd.1 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
Assertion
Ref Expression
eqinf (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝐶,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem eqinf
StepHypRef Expression
1 df-inf 8334 . . 3 inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)
2 infexd.1 . . . . . 6 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
3 cnvso 5662 . . . . . 6 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴)
42, 3sylib 208 . . . . 5 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
54eqsup 8347 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
6 vex 3198 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
7 brcnvg 5292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶𝐴𝑦 ∈ V) → (𝐶𝑅𝑦𝑦𝑅𝐶))
87bicomd 213 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝐴𝑦 ∈ V) → (𝑦𝑅𝐶𝐶𝑅𝑦))
96, 8mpan2 706 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐴 → (𝑦𝑅𝐶𝐶𝑅𝑦))
109notbid 308 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝐶 ↔ ¬ 𝐶𝑅𝑦))
1110ralbidv 2983 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦))
12 brcnvg 5292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝐶𝐴) → (𝑦𝑅𝐶𝐶𝑅𝑦))
136, 12mpan 705 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐴 → (𝑦𝑅𝐶𝐶𝑅𝑦))
1413bicomd 213 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐴 → (𝐶𝑅𝑦𝑦𝑅𝐶))
15 vex 3198 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
166, 15brcnv 5294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶𝐴 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
1817bicomd 213 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐴 → (𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧))
1918rexbidv 3048 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐴 → (∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
2014, 19imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → ((𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
2120ralbidv 2983 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → (∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
2211, 21anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝐶𝐴 → ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
2322pm5.32i 668 . . . . . 6 ((𝐶𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))) ↔ (𝐶𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
24 3anass 1040 . . . . . 6 ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (𝐶𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
25 3anass 1040 . . . . . 6 ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (𝐶𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
2623, 24, 253bitr4i 292 . . . . 5 ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
2726biimpi 206 . . . 4 ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
285, 27impel 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
291, 28syl5eq 2666 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
3029ex 450 1 (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  wrex 2910  Vcvv 3195   class class class wbr 4644   Or wor 5024  ccnv 5103  supcsup 8331  infcinf 8332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pr 4897
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-po 5025  df-so 5026  df-cnv 5112  df-iota 5839  df-riota 6596  df-sup 8333  df-inf 8334
This theorem is referenced by:  eqinfd  8376  infxr  39396
  Copyright terms: Public domain W3C validator