MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqfnfvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqfnfvd 6354
Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqfnfvd.1 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
eqfnfvd.2 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
eqfnfvd.3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
eqfnfvd (𝜑𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eqfnfvd
StepHypRef Expression
1 eqfnfvd.3 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
21ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3 eqfnfvd.1 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
4 eqfnfvd.2 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
5 eqfnfv 6351 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
63, 4, 5syl2anc 694 . 2 (𝜑 → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
72, 6mpbird 247 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941   Fn wfn 5921  cfv 5926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-fv 5934
This theorem is referenced by:  foeqcnvco  6595  f1eqcocnv  6596  offveq  6960  tfrlem1  7517  ackbij2lem2  9100  ackbij2lem3  9101  fpwwe2lem8  9497  seqfeq2  12864  seqfeq  12866  seqfeq3  12891  ccatlid  13404  ccatrid  13405  ccatass  13406  swrdid  13474  ccatswrd  13502  swrdccat1  13503  swrdccat2  13504  swrdswrd  13506  cats1un  13521  swrdccatin1  13529  swrdccatin2  13533  swrdccatin12  13537  revccat  13561  revrev  13562  cshco  13628  swrdco  13629  seqshft  13869  seq1st  15331  xpsfeq  16271  yonedainv  16968  pwsco1mhm  17417  f1otrspeq  17913  pmtrfinv  17927  symgtrinv  17938  frgpup3lem  18236  ablfac1eu  18518  psrlidm  19451  psrridm  19452  psrass1  19453  subrgascl  19546  evlslem1  19563  psgndiflemB  19994  frlmup1  20185  frlmup3  20187  frlmup4  20188  mavmulass  20403  upxp  21474  uptx  21476  cnextfres1  21919  ovolshftlem1  23323  volsup  23370  dvidlem  23724  dvrec  23763  dveq0  23808  dv11cn  23809  ftc1cn  23851  coemulc  24056  aannenlem1  24128  ulmuni  24191  ulmdv  24202  ostthlem1  25361  nvinvfval  27623  sspn  27719  kbass2  29104  xppreima2  29578  psgnfzto1stlem  29978  indpreima  30215  esumcvg  30276  signstres  30780  hgt750lemb  30862  subfacp1lem4  31291  cvmliftmolem2  31390  msubff1  31579  iprodefisumlem  31752  poimirlem8  33547  poimirlem13  33552  poimirlem14  33553  ftc1cnnc  33614  eqlkr3  34706  cdleme51finvN  36161  ismrcd2  37579  rfovcnvf1od  38615  dssmapntrcls  38743  dvconstbi  38850  fsumsermpt  40129  icccncfext  40418  voliooicof  40531  etransclem35  40804  rrxsnicc  40838  ovolval4lem1  41184  ccatpfx  41734  pfxccat1  41735  pfxccatin12  41750  zrinitorngc  42325  zrtermorngc  42326  zrtermoringc  42395
  Copyright terms: Public domain W3C validator