MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eq0rdv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eq0rdv 4122
Description: Deduction rule for equality to the empty set. (Contributed by NM, 11-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eq0rdv.1 (𝜑 → ¬ 𝑥𝐴)
Assertion
Ref Expression
eq0rdv (𝜑𝐴 = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eq0rdv
StepHypRef Expression
1 eq0rdv.1 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑥𝐴)
21pm2.21d 118 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ∅))
32ssrdv 3750 . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ∅)
4 ss0 4117 . 2 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
53, 4syl 17 1 (𝜑𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  c0 4058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-v 3342  df-dif 3718  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059
This theorem is referenced by:  map0b  8062  disjen  8282  mapdom1  8290  pwxpndom2  9679  fzdisj  12561  smu01lem  15409  prmreclem5  15826  vdwap0  15882  natfval  16807  fucbas  16821  fuchom  16822  coafval  16915  efgval  18330  lsppratlem6  19354  lbsextlem4  19363  psrvscafval  19592  cfinufil  21933  ufinffr  21934  fin1aufil  21937  bldisj  22404  reconnlem1  22830  pcofval  23010  bcthlem5  23325  volfiniun  23515  fta1g  24126  fta1  24262  rpvmasum  25414  bj-projval  33290  finxpnom  33549  ipo0  39155  ifr0  39156  limclner  40386
  Copyright terms: Public domain W3C validator