MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ensdomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ensdomtr 8249
Description: Transitivity of equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ensdomtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem ensdomtr
StepHypRef Expression
1 endom 8136 . 2 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
2 domsdomtr 8248 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan 489 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   class class class wbr 4792  cen 8106  cdom 8107  csdm 8108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112
This theorem is referenced by:  sdomen1  8257  sucxpdom  8322  f1finf1o  8340  findcard3  8356  isfinite2  8371  pm54.43  8987  infxpenlem  8997  alephnbtwn2  9056  alephordi  9058  alephsucdom  9063  pwsdompw  9189  infunsdom1  9198  cflim2  9248  fin23lem27  9313  cfpwsdom  9569  inawinalem  9674  inar1  9760  tskcard  9766  tskuni  9768  rpnnen  15126  resdomq  15143  aleph1re  15144  aleph1irr  15145  1nprm  15565
  Copyright terms: Public domain W3C validator