MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enfii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enfii 8218
Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfii ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem enfii
StepHypRef Expression
1 enfi 8217 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
21biimparc 503 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2030   class class class wbr 4685  cen 7994  Fincfn 7997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001
This theorem is referenced by:  domfi  8222  en1eqsn  8231  isfinite2  8259  xpfi  8272  fofinf1o  8282  cnvfi  8289  f1dmvrnfibi  8291  pwfi  8302  cantnfcl  8602  en2eqpr  8868  fzfi  12811  hasheni  13176  fz1isolem  13283  isercolllem2  14440  isercoll  14442  summolem2a  14490  summolem2  14491  zsum  14493  prodmolem2a  14708  prodmolem2  14709  zprod  14711  bitsf1  15215  orbsta2  17793  ovoliunlem1  23316  wlksnfi  26870  eupthfi  27183  eulerpartlemgs2  30570  derangenlem  31279  erdsze2lem2  31312  heicant  33574
  Copyright terms: Public domain W3C validator