Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  en3lpVD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en3lpVD 39577
Description: Virtual deduction proof of en3lp 8680. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
en3lpVD ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)

Proof of Theorem en3lpVD
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2.1 432 . . 3 (¬ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅)
2 df-ne 2931 . . . . 5 ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅)
32bicomi 214 . . . 4 (¬ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅)
43orbi1i 543 . . 3 ((¬ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅) ↔ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅))
51, 4mpbi 220 . 2 ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅)
6 zfregs2 8780 . . . 4 ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦𝑥))
7 en3lplem2VD 39576 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦𝑥)))
87alrimiv 2002 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦𝑥)))
9 df-ral 3053 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦𝑥) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦𝑥)))
108, 9sylibr 224 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦𝑥))
1110con3i 150 . . . 4 (¬ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦𝑥) → ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
126, 11syl 17 . . 3 ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ → ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
13 idn1 39290 . . . . . . 7 (   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   ▶   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   )
14 noel 4060 . . . . . . 7 ¬ 𝐶 ∈ ∅
15 eleq2 2826 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ 𝐶 ∈ ∅))
1615notbid 307 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ → (¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ ¬ 𝐶 ∈ ∅))
1716biimprd 238 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ → (¬ 𝐶 ∈ ∅ → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}))
1813, 14, 17e10 39419 . . . . . 6 (   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   ▶    ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}   )
19 tpid3g 4447 . . . . . . 7 (𝐶𝐴𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
2019con3i 150 . . . . . 6 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ¬ 𝐶𝐴)
2118, 20e1a 39352 . . . . 5 (   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   ▶    ¬ 𝐶𝐴   )
22 simp3 1133 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐶𝐴)
2322con3i 150 . . . . 5 𝐶𝐴 → ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
2421, 23e1a 39352 . . . 4 (   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   ▶    ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)   )
2524in1 39287 . . 3 ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ → ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
2612, 25jaoi 393 . 2 (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅) → ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
275, 26ax-mp 5 1 ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1072  wal 1628   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2137  wne 2930  wral 3048  c0 4056  {ctp 4323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-reg 8660  ax-inf2 8709
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-om 7229  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-vd1 39286  df-vd2 39294  df-vd3 39306
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator