Theorem en2sn 8202

Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
en2sn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Proof of Theorem en2sn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 8186	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
2		ensn1g 8186	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → {𝐵} ≈ 1𝑜)
3	2	ensymd 8172	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 1𝑜 ≈ {𝐵})
4		entr 8173	. 2 ⊢ (({𝐴} ≈ 1𝑜 ∧ 1𝑜 ≈ {𝐵}) → {𝐴} ≈ {𝐵})
5	1, 3, 4	syl2an 495	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139  {csn 4321   class class class wbr 4804  1_𝑜c1o 7722   ≈ cen 8118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-suc 5890  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-1o 7729  df-er 7911  df-en 8122

This theorem is referenced by:  difsnen  8207  domunsncan  8225  domunsn  8275  limensuci  8301  infensuc  8303  sucdom2  8321  dif1en  8358  dif1card  9023  fin23lem26  9339  unsnen  9567  canthp1lem1  9666  fzennn  12961  hashsng  13351  mreexexlem4d  16509