Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2eqpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en2eqpr 9040
 Description: Building a set with two elements. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2eqpr ((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem en2eqpr
StepHypRef Expression
1 2onn 7891 . . . . . 6 2𝑜 ∈ ω
2 nnfi 8320 . . . . . 6 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ∈ Fin)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 2𝑜 ∈ Fin
4 simpl1 1228 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ≈ 2𝑜)
5 enfii 8344 . . . . 5 ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 2𝑜) → 𝐶 ∈ Fin)
63, 4, 5sylancr 698 . . . 4 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
7 simpl2 1230 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐶)
8 simpl3 1232 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐶)
9 prssi 4498 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
107, 8, 9syl2anc 696 . . . 4 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
11 pr2nelem 9037 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶𝐵𝐶𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
12113expa 1112 . . . . . 6 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
13123adantl1 1172 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
144ensymd 8174 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 2𝑜𝐶)
15 entr 8175 . . . . 5 (({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 ∧ 2𝑜𝐶) → {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶)
1613, 14, 15syl2anc 696 . . . 4 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶)
17 fisseneq 8338 . . . 4 ((𝐶 ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
186, 10, 16, 17syl3anc 1477 . . 3 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
1918eqcomd 2766 . 2 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
2019ex 449 1 ((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵𝐶 = {𝐴, 𝐵}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3715  {cpr 4323   class class class wbr 4804  ωcom 7231  2𝑜c2o 7724   ≈ cen 8120  Fincfn 8123 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7232  df-1o 7730  df-2o 7731  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127 This theorem is referenced by:  isprm2lem  15616  en2top  21011
 Copyright terms: Public domain W3C validator