Theorem en1uniel 8193

Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en1uniel	⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem en1uniel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 8126	. . . 4 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelexi 5315	. . 3 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → 𝑆 ∈ V)
3		uniexg 7120	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → ∪ 𝑆 ∈ V)
4		snidg 4351	. . 3 ⊢ (∪ 𝑆 ∈ V → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
5	2, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
6		en1b 8189	. . 3 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 ↔ 𝑆 = {∪ 𝑆})
7	6	biimpi 206	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → 𝑆 = {∪ 𝑆})
8	5, 7	eleqtrrd 2842	1 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  {csn 4321  ∪ cuni 4588   class class class wbr 4804  1_𝑜c1o 7722   ≈ cen 8118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-1o 7729  df-en 8122

This theorem is referenced by:  en2eleq  9021  en2other2  9022  pmtrf  18075  pmtrmvd  18076  pmtrfinv  18081  frgpcyg  20124