MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1eqsnbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en1eqsnbi 8351
Description: A set containing an element has exactly one element iff it is a singleton. Formerly part of proof for rngen1zr 19491. (Contributed by FL, 13-Feb-2010.) (Revised by AV, 25-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
en1eqsnbi (𝐴𝐵 → (𝐵 ≈ 1𝑜𝐵 = {𝐴}))

Proof of Theorem en1eqsnbi
StepHypRef Expression
1 en1eqsn 8350 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐵 = {𝐴})
21ex 397 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐵 ≈ 1𝑜𝐵 = {𝐴}))
3 ensn1g 8178 . . 3 (𝐴𝐵 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
4 breq1 4790 . . 3 (𝐵 = {𝐴} → (𝐵 ≈ 1𝑜 ↔ {𝐴} ≈ 1𝑜))
53, 4syl5ibrcom 237 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐵 = {𝐴} → 𝐵 ≈ 1𝑜))
62, 5impbid 202 1 (𝐴𝐵 → (𝐵 ≈ 1𝑜𝐵 = {𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145  {csn 4317   class class class wbr 4787  1𝑜c1o 7710  cen 8110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-om 7217  df-1o 7717  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117
This theorem is referenced by:  srgen1zr  18738  rngen1zr  19491  rngosn4  34056
  Copyright terms: Public domain W3C validator