MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1eqsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en1eqsn 8358
Description: A set with one element is a singleton. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
en1eqsn ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐵 = {𝐴})

Proof of Theorem en1eqsn
StepHypRef Expression
1 1onn 7891 . . . . . 6 1𝑜 ∈ ω
2 ssid 3766 . . . . . 6 1𝑜 ⊆ 1𝑜
3 ssnnfi 8347 . . . . . 6 ((1𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ⊆ 1𝑜) → 1𝑜 ∈ Fin)
41, 2, 3mp2an 710 . . . . 5 1𝑜 ∈ Fin
5 enfii 8345 . . . . 5 ((1𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐵 ∈ Fin)
64, 5mpan 708 . . . 4 (𝐵 ≈ 1𝑜𝐵 ∈ Fin)
76adantl 473 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐵 ∈ Fin)
8 snssi 4485 . . . 4 (𝐴𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
98adantr 472 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1𝑜) → {𝐴} ⊆ 𝐵)
10 ensn1g 8189 . . . 4 (𝐴𝐵 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
11 ensym 8173 . . . 4 (𝐵 ≈ 1𝑜 → 1𝑜𝐵)
12 entr 8176 . . . 4 (({𝐴} ≈ 1𝑜 ∧ 1𝑜𝐵) → {𝐴} ≈ 𝐵)
1310, 11, 12syl2an 495 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1𝑜) → {𝐴} ≈ 𝐵)
14 fisseneq 8339 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ≈ 𝐵) → {𝐴} = 𝐵)
157, 9, 13, 14syl3anc 1477 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1𝑜) → {𝐴} = 𝐵)
1615eqcomd 2767 1 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐵 = {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wss 3716  {csn 4322   class class class wbr 4805  ωcom 7232  1𝑜c1o 7724  cen 8121  Fincfn 8124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-om 7233  df-1o 7731  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128
This theorem is referenced by:  en1eqsnbi  8359  gex1  18227  0cyg  18515  pgpfac1lem3a  18696  pgpfaclem3  18703  0ring  19493  en1top  21011  cnextfres1  22094  xrge0tsmseq  30118  sconnpi1  31550  rngoueqz  34071  isdmn3  34205
  Copyright terms: Public domain W3C validator