MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem7 24948
Description: Lemma for emcl 24949 and harmonicbnd 24950. Derive bounds on γ as 𝐹(1) and 𝐺(1). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
Assertion
Ref Expression
emcllem7 (γ ∈ ((1 − (log‘2))[,]1) ∧ 𝐹:ℕ⟶(γ[,]1) ∧ 𝐺:ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem7
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11924 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11609 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 emcl.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
4 emcl.2 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
5 emcl.3 . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
6 emcl.4 . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
73, 4, 5, 6emcllem6 24947 . . . . . . 7 (𝐹 ⇝ γ ∧ 𝐺 ⇝ γ)
87simpri 473 . . . . . 6 𝐺 ⇝ γ
98a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐺 ⇝ γ)
103, 4emcllem1 24942 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ⟶ℝ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℝ)
1110simpri 473 . . . . . . 7 𝐺:ℕ⟶ℝ
1211ffvelrni 6501 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
1312adantl 467 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
141, 2, 9, 13climrecl 14521 . . . 4 (⊤ → γ ∈ ℝ)
15 1nn 11232 . . . . 5 1 ∈ ℕ
16 simpr 471 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
178a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐺 ⇝ γ)
1812adantl 467 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
193, 4emcllem2 24943 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐺𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1))))
2019simprd 477 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
2120adantl 467 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
221, 16, 17, 18, 21climub 14599 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺𝑖) ≤ γ)
2322ralrimiva 3114 . . . . 5 (⊤ → ∀𝑖 ∈ ℕ (𝐺𝑖) ≤ γ)
24 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (𝐺𝑖) = (𝐺‘1))
25 oveq2 6800 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (1...𝑛) = (1...1))
2625sumeq1d 14638 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...1)(1 / 𝑚))
27 1z 11608 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
28 ax-1cn 10195 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
29 oveq2 6800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 1 → (1 / 𝑚) = (1 / 1))
30 1div1e1 10918 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 1) = 1
3129, 30syl6eq 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 1 → (1 / 𝑚) = 1)
3231fsum1 14683 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (1...1)(1 / 𝑚) = 1)
3327, 28, 32mp2an 664 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑚 ∈ (1...1)(1 / 𝑚) = 1
3426, 33syl6eq 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = 1)
35 oveq1 6799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = (1 + 1))
36 df-2 11280 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (1 + 1)
3735, 36syl6eqr 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = 2)
3837fveq2d 6336 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → (log‘(𝑛 + 1)) = (log‘2))
3934, 38oveq12d 6810 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (1 − (log‘2)))
40 1re 10240 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
41 2rp 12039 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
42 relogcl 24542 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (log‘2) ∈ ℝ
4440, 43resubcli 10544 . . . . . . . . . . 11 (1 − (log‘2)) ∈ ℝ
4544elexi 3362 . . . . . . . . . 10 (1 − (log‘2)) ∈ V
4639, 4, 45fvmpt 6424 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℕ → (𝐺‘1) = (1 − (log‘2)))
4715, 46ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐺‘1) = (1 − (log‘2))
4824, 47syl6eq 2820 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → (𝐺𝑖) = (1 − (log‘2)))
4948breq1d 4794 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → ((𝐺𝑖) ≤ γ ↔ (1 − (log‘2)) ≤ γ))
5049rspcva 3456 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ (𝐺𝑖) ≤ γ) → (1 − (log‘2)) ≤ γ)
5115, 23, 50sylancr 567 . . . 4 (⊤ → (1 − (log‘2)) ≤ γ)
52 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑖 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑖))
5352negeqd 10476 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑖 → -(𝐹𝑥) = -(𝐹𝑖))
54 eqid 2770 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))
55 negex 10480 . . . . . . . . . . 11 -(𝐹𝑖) ∈ V
5653, 54, 55fvmpt 6424 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑖) = -(𝐹𝑖))
5756adantl 467 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑖) = -(𝐹𝑖))
587simpli 470 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 ⇝ γ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 𝐹 ⇝ γ)
60 0cnd 10234 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
61 nnex 11227 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ ∈ V
6261mptex 6629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥)) ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥)) ∈ V)
6410simpli 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹:ℕ⟶ℝ
6564ffvelrni 6501 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6665adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6766recnd 10269 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
68 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
6968negeqd 10476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘 → -(𝐹𝑥) = -(𝐹𝑘))
70 negex 10480 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(𝐹𝑘) ∈ V
7169, 54, 70fvmpt 6424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
7271adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
73 df-neg 10470 . . . . . . . . . . . . 13 -(𝐹𝑘) = (0 − (𝐹𝑘))
7472, 73syl6eq 2820 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) = (0 − (𝐹𝑘)))
751, 2, 59, 60, 63, 67, 74climsubc2 14576 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥)) ⇝ (0 − γ))
7675adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥)) ⇝ (0 − γ))
7766renegcld 10658 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7872, 77eqeltrd 2849 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) ∈ ℝ)
7978adantlr 686 . . . . . . . . . 10 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) ∈ ℝ)
8019simpld 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
8180adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
82 peano2nn 11233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
8382adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
8464ffvelrni 6501 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
8685, 66lenegd 10807 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ -(𝐹𝑘) ≤ -(𝐹‘(𝑘 + 1))))
8781, 86mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(𝐹𝑘) ≤ -(𝐹‘(𝑘 + 1)))
88 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8988negeqd 10476 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑘 + 1) → -(𝐹𝑥) = -(𝐹‘(𝑘 + 1)))
90 negex 10480 . . . . . . . . . . . . . 14 -(𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ V
9189, 54, 90fvmpt 6424 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘(𝑘 + 1)) = -(𝐹‘(𝑘 + 1)))
9283, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘(𝑘 + 1)) = -(𝐹‘(𝑘 + 1)))
9387, 72, 923brtr4d 4816 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) ≤ ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘(𝑘 + 1)))
9493adantlr 686 . . . . . . . . . 10 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) ≤ ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘(𝑘 + 1)))
951, 16, 76, 79, 94climub 14599 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑖) ≤ (0 − γ))
9657, 95eqbrtrrd 4808 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → -(𝐹𝑖) ≤ (0 − γ))
97 df-neg 10470 . . . . . . . 8 -γ = (0 − γ)
9896, 97syl6breqr 4826 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → -(𝐹𝑖) ≤ -γ)
9914trud 1640 . . . . . . . 8 γ ∈ ℝ
10064ffvelrni 6501 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℕ → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
101100adantl 467 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
102 leneg 10732 . . . . . . . 8 ((γ ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑖) ∈ ℝ) → (γ ≤ (𝐹𝑖) ↔ -(𝐹𝑖) ≤ -γ))
10399, 101, 102sylancr 567 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (γ ≤ (𝐹𝑖) ↔ -(𝐹𝑖) ≤ -γ))
10498, 103mpbird 247 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → γ ≤ (𝐹𝑖))
105104ralrimiva 3114 . . . . 5 (⊤ → ∀𝑖 ∈ ℕ γ ≤ (𝐹𝑖))
106 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (𝐹𝑖) = (𝐹‘1))
107 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (log‘𝑛) = (log‘1))
108 log1 24552 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘1) = 0
109107, 108syl6eq 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (log‘𝑛) = 0)
11034, 109oveq12d 6810 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)) = (1 − 0))
111 1m0e1 11332 . . . . . . . . . . 11 (1 − 0) = 1
112110, 111syl6eq 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)) = 1)
11340elexi 3362 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
114112, 3, 113fvmpt 6424 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) = 1)
11515, 114ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐹‘1) = 1
116106, 115syl6eq 2820 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → (𝐹𝑖) = 1)
117116breq2d 4796 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (γ ≤ (𝐹𝑖) ↔ γ ≤ 1))
118117rspcva 3456 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ γ ≤ (𝐹𝑖)) → γ ≤ 1)
11915, 105, 118sylancr 567 . . . 4 (⊤ → γ ≤ 1)
12044, 40elicc2i 12443 . . . 4 (γ ∈ ((1 − (log‘2))[,]1) ↔ (γ ∈ ℝ ∧ (1 − (log‘2)) ≤ γ ∧ γ ≤ 1))
12114, 51, 119, 120syl3anbrc 1427 . . 3 (⊤ → γ ∈ ((1 − (log‘2))[,]1))
122 ffn 6185 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℕ)
12364, 122mp1i 13 . . . 4 (⊤ → 𝐹 Fn ℕ)
12416, 1syl6eleq 2859 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ‘1))
125 elfznn 12576 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑖) → 𝑘 ∈ ℕ)
126125adantl 467 . . . . . . . . 9 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℕ)
127126, 65syl 17 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
128 elfznn 12576 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(𝑖 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
129128adantl 467 . . . . . . . . 9 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑖 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
130129, 80syl 17 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑖 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
131124, 127, 130monoord2 13038 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ≤ (𝐹‘1))
132131, 115syl6breq 4825 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ≤ 1)
13399, 40elicc2i 12443 . . . . . 6 ((𝐹𝑖) ∈ (γ[,]1) ↔ ((𝐹𝑖) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (𝐹𝑖) ∧ (𝐹𝑖) ≤ 1))
134101, 104, 132, 133syl3anbrc 1427 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ∈ (γ[,]1))
135134ralrimiva 3114 . . . 4 (⊤ → ∀𝑖 ∈ ℕ (𝐹𝑖) ∈ (γ[,]1))
136 ffnfv 6530 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(γ[,]1) ↔ (𝐹 Fn ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ (𝐹𝑖) ∈ (γ[,]1)))
137123, 135, 136sylanbrc 564 . . 3 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶(γ[,]1))
138 ffn 6185 . . . . 5 (𝐺:ℕ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℕ)
13911, 138mp1i 13 . . . 4 (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
14011ffvelrni 6501 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ → (𝐺𝑖) ∈ ℝ)
141140adantl 467 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺𝑖) ∈ ℝ)
142126, 12syl 17 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
143129, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑖 − 1))) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
144124, 142, 143monoord 13037 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺‘1) ≤ (𝐺𝑖))
14547, 144syl5eqbrr 4820 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 − (log‘2)) ≤ (𝐺𝑖))
14644, 99elicc2i 12443 . . . . . 6 ((𝐺𝑖) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ) ↔ ((𝐺𝑖) ∈ ℝ ∧ (1 − (log‘2)) ≤ (𝐺𝑖) ∧ (𝐺𝑖) ≤ γ))
147141, 145, 22, 146syl3anbrc 1427 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺𝑖) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ))
148147ralrimiva 3114 . . . 4 (⊤ → ∀𝑖 ∈ ℕ (𝐺𝑖) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ))
149 ffnfv 6530 . . . 4 (𝐺:ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ) ↔ (𝐺 Fn ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ (𝐺𝑖) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ)))
150139, 148, 149sylanbrc 564 . . 3 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ))
151121, 137, 1503jca 1121 . 2 (⊤ → (γ ∈ ((1 − (log‘2))[,]1) ∧ 𝐹:ℕ⟶(γ[,]1) ∧ 𝐺:ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ)))
152151trud 1640 1 (γ ∈ ((1 − (log‘2))[,]1) ∧ 𝐹:ℕ⟶(γ[,]1) ∧ 𝐺:ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wtru 1631  wcel 2144  wral 3060  Vcvv 3349   class class class wbr 4784  cmpt 4861   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140  cle 10276  cmin 10467  -cneg 10468   / cdiv 10885  cn 11221  2c2 11271  cz 11578  cuz 11887  +crp 12034  [,]cicc 12382  ...cfz 12532  cli 14422  Σcsu 14623  logclog 24521  γcem 24938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-em 24939
This theorem is referenced by:  emcl  24949  harmonicbnd  24950  harmonicbnd2  24951
  Copyright terms: Public domain W3C validator