MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem5 24921
Description: Lemma for emcl 24924. The partial sums of the series 𝑇, which is used in the definition df-em 24914, is in fact the same as 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
Assertion
Ref Expression
emcllem5 𝐺 = seq1( + , 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem5
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznn 12559 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ)
21adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℕ)
32nncnd 11224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℂ)
4 1cnd 10244 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 1 ∈ ℂ)
52nnne0d 11253 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ≠ 0)
63, 4, 3, 5divdird 11027 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)))
73, 5dividd 10987 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑚 / 𝑚) = 1)
87oveq1d 6824 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)) = (1 + (1 / 𝑚)))
96, 8eqtrd 2790 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = (1 + (1 / 𝑚)))
109fveq2d 6352 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
11 peano2nn 11220 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
122, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
1312nnrpd 12059 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
142nnrpd 12059 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
1513, 14relogdivd 24567 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = ((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)))
1610, 15eqtr3d 2792 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) = ((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)))
1716sumeq2dv 14628 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)))
18 fveq2 6348 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑚 → (log‘𝑥) = (log‘𝑚))
19 fveq2 6348 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (log‘𝑥) = (log‘(𝑚 + 1)))
20 fveq2 6348 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (log‘𝑥) = (log‘1))
21 fveq2 6348 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (log‘𝑥) = (log‘(𝑛 + 1)))
22 nnz 11587 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
23 peano2nn 11220 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
24 nnuz 11912 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
2523, 24syl6eleq 2845 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘1))
26 elfznn 12559 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
2726adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
2827nnrpd 12059 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2928relogcld 24564 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
3029recnd 10256 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
3118, 19, 20, 21, 22, 25, 30telfsum2 14732 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)) = ((log‘(𝑛 + 1)) − (log‘1)))
32 log1 24527 . . . . . . . 8 (log‘1) = 0
3332oveq2i 6820 . . . . . . 7 ((log‘(𝑛 + 1)) − (log‘1)) = ((log‘(𝑛 + 1)) − 0)
3423nnrpd 12059 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
3534relogcld 24564 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
3635recnd 10256 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
3736subid1d 10569 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((log‘(𝑛 + 1)) − 0) = (log‘(𝑛 + 1)))
3833, 37syl5eq 2802 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((log‘(𝑛 + 1)) − (log‘1)) = (log‘(𝑛 + 1)))
3917, 31, 383eqtrd 2794 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚))) = (log‘(𝑛 + 1)))
4039oveq2d 6825 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
41 fzfid 12962 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (1...𝑛) ∈ Fin)
422nnrecred 11254 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
4342recnd 10256 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
44 1rp 12025 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
4514rpreccld 12071 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ+)
46 rpaddcl 12043 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑚) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
4744, 45, 46sylancr 698 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
4847relogcld 24564 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℝ)
4948recnd 10256 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℂ)
5041, 43, 49fsumsub 14715 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
51 oveq2 6817 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
5251oveq2d 6825 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑚)))
5352fveq2d 6352 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
5451, 53oveq12d 6827 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))) = ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
55 emcl.4 . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
56 ovex 6837 . . . . . . . 8 ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) ∈ V
5754, 55, 56fvmpt 6440 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑇𝑚) = ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
582, 57syl 17 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑇𝑚) = ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
59 id 22 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
6059, 24syl6eleq 2845 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
6142, 48resubcld 10646 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) ∈ ℝ)
6261recnd 10256 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) ∈ ℂ)
6358, 60, 62fsumser 14656 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
6450, 63eqtr3d 2792 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
6540, 64eqtr3d 2792 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
6665mpteq2ia 4888 . 2 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
67 emcl.2 . 2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
68 1z 11595 . . . . 5 1 ∈ ℤ
69 seqfn 13003 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → seq1( + , 𝑇) Fn (ℤ‘1))
7068, 69ax-mp 5 . . . 4 seq1( + , 𝑇) Fn (ℤ‘1)
7124fneq2i 6143 . . . 4 (seq1( + , 𝑇) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝑇) Fn (ℤ‘1))
7270, 71mpbir 221 . . 3 seq1( + , 𝑇) Fn ℕ
73 dffn5 6399 . . 3 (seq1( + , 𝑇) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝑇) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝑇)‘𝑛)))
7472, 73mpbi 220 . 2 seq1( + , 𝑇) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
7566, 67, 743eqtr4i 2788 1 𝐺 = seq1( + , 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  cmpt 4877   Fn wfn 6040  cfv 6045  (class class class)co 6809  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127  cmin 10454   / cdiv 10872  cn 11208  cz 11565  cuz 11875  +crp 12021  ...cfz 12515  seqcseq 12991  Σcsu 14611  logclog 24496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202  ax-addf 10203  ax-mulf 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-iin 4671  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-of 7058  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-supp 7460  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-2o 7726  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-pm 8022  df-ixp 8071  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fsupp 8437  df-fi 8478  df-sup 8509  df-inf 8510  df-oi 8576  df-card 8951  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-q 11978  df-rp 12022  df-xneg 12135  df-xadd 12136  df-xmul 12137  df-ioo 12368  df-ioc 12369  df-ico 12370  df-icc 12371  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-fl 12783  df-mod 12859  df-seq 12992  df-exp 13051  df-fac 13251  df-bc 13280  df-hash 13308  df-shft 14002  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-limsup 14397  df-clim 14414  df-rlim 14415  df-sum 14612  df-ef 14993  df-sin 14995  df-cos 14996  df-pi 14998  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-starv 16154  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-ip 16157  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-unif 16163  df-hom 16164  df-cco 16165  df-rest 16281  df-topn 16282  df-0g 16300  df-gsum 16301  df-topgen 16302  df-pt 16303  df-prds 16306  df-xrs 16360  df-qtop 16365  df-imas 16366  df-xps 16368  df-mre 16444  df-mrc 16445  df-acs 16447  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-submnd 17533  df-mulg 17738  df-cntz 17946  df-cmn 18391  df-psmet 19936  df-xmet 19937  df-met 19938  df-bl 19939  df-mopn 19940  df-fbas 19941  df-fg 19942  df-cnfld 19945  df-top 20897  df-topon 20914  df-topsp 20935  df-bases 20948  df-cld 21021  df-ntr 21022  df-cls 21023  df-nei 21100  df-lp 21138  df-perf 21139  df-cn 21229  df-cnp 21230  df-haus 21317  df-tx 21563  df-hmeo 21756  df-fil 21847  df-fm 21939  df-flim 21940  df-flf 21941  df-xms 22322  df-ms 22323  df-tms 22324  df-cncf 22878  df-limc 23825  df-dv 23826  df-log 24498
This theorem is referenced by:  emcllem6  24922
  Copyright terms: Public domain W3C validator