MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem3 24844
Description: Lemma for emcl 24849. The function 𝐻 is the difference between 𝐹 and 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
emcllem3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) − (𝐺𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem3
StepHypRef Expression
1 peano2nn 11145 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
21nnrpd 11984 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
3 nnrp 11956 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
42, 3relogdivd 24492 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
5 nncn 11141 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
6 1cnd 10169 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
7 nnne0 11166 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
85, 6, 5, 7divdird 10952 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) = ((𝑁 / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
95, 7dividd 10912 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
109oveq1d 6780 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = (1 + (1 / 𝑁)))
118, 10eqtr2d 2759 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (1 / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
1211fveq2d 6308 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(1 + (1 / 𝑁))) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
13 fzfid 12887 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
14 elfznn 12484 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
1514adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑚 ∈ ℕ)
1615nnrecred 11179 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
1713, 16fsumrecl 14585 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
1817recnd 10181 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) ∈ ℂ)
193relogcld 24489 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
2019recnd 10181 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
212relogcld 24489 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2221recnd 10181 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
2318, 20, 22nnncan1d 10539 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) − (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1)))) = ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
244, 12, 233eqtr4d 2768 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(1 + (1 / 𝑁))) = ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) − (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1)))))
25 oveq2 6773 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑁))
2625oveq2d 6781 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑁)))
2726fveq2d 6308 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑁))))
28 emcl.3 . . 3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
29 fvex 6314 . . 3 (log‘(1 + (1 / 𝑁))) ∈ V
3027, 28, 29fvmpt 6396 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐻𝑁) = (log‘(1 + (1 / 𝑁))))
31 oveq2 6773 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
3231sumeq1d 14551 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚))
33 fveq2 6304 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (log‘𝑛) = (log‘𝑁))
3432, 33oveq12d 6783 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
35 emcl.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
36 ovex 6793 . . . 4 𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) ∈ V
3734, 35, 36fvmpt 6396 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
38 oveq1 6772 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 + 1) = (𝑁 + 1))
3938fveq2d 6308 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝑛 + 1)) = (log‘(𝑁 + 1)))
4032, 39oveq12d 6783 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
41 emcl.2 . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
42 ovex 6793 . . . 4 𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ V
4340, 41, 42fvmpt 6396 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺𝑁) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
4437, 43oveq12d 6783 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹𝑁) − (𝐺𝑁)) = ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) − (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1)))))
4524, 30, 443eqtr4d 2768 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) − (𝐺𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  cmpt 4837  cfv 6001  (class class class)co 6765  1c1 10050   + caddc 10052  cmin 10379   / cdiv 10797  cn 11133  ...cfz 12440  Σcsu 14536  logclog 24421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751  df-log 24423
This theorem is referenced by:  emcllem6  24847
  Copyright terms: Public domain W3C validator