Theorem elzdif0 30333

Description: Lemma for qqhval2 30335. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elzdif0	⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ))

Proof of Theorem elzdif0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3875	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eldifn 3876	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → ¬ 𝑀 ∈ {0})
3		elsng 4335	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ {0} ↔ 𝑀 = 0))
4	3	notbid 307	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 𝑀 ∈ {0} ↔ ¬ 𝑀 = 0))
5	4	biimpa 502	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑀 ∈ {0}) → ¬ 𝑀 = 0)
6	1, 2, 5	syl2anc 696	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → ¬ 𝑀 = 0)
7		elz 11571	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
8	1, 7	sylib 208	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
9	8	simprd 482	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ))
10		3orass 1075	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ) ↔ (𝑀 = 0 ∨ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
11	9, 10	sylib 208	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 = 0 ∨ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
12		orel1 396	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 = 0 → ((𝑀 = 0 ∨ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
13	6, 11, 12	sylc 65	1 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1071   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ∖ cdif 3712  {csn 4321  ℝcr 10127  0cc0 10128  -cneg 10459  ℕcn 11212  ℤcz 11569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-iota 6012  df-fv 6057  df-ov 6816  df-neg 10461  df-z 11570

This theorem is referenced by: (None)