MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elxr 11988
Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
elxr (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr
StepHypRef Expression
1 df-xr 10116 . . 3 * = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
21eleq2i 2722 . 2 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3 elun 3786 . 2 (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4 pnfex 10131 . . . . 5 +∞ ∈ V
5 mnfxr 10134 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
65elexi 3244 . . . . 5 -∞ ∈ V
74, 6elpr2 4232 . . . 4 (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
87orbi2i 540 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9 3orass 1057 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
108, 9bitr4i 267 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
112, 3, 103bitri 286 1 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wo 382  w3o 1053   = wceq 1523  wcel 2030  cun 3605  {cpr 4212  cr 9973  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-pow 4873  ax-un 6991  ax-cnex 10030
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-rex 2947  df-v 3233  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-uni 4469  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116
This theorem is referenced by:  xrnemnf  11989  xrnepnf  11990  xrltnr  11991  xrltnsym  12008  xrlttri  12010  xrlttr  12011  xrrebnd  12037  qbtwnxr  12069  xnegcl  12082  xnegneg  12083  xltnegi  12085  xaddf  12093  xnegid  12107  xaddcom  12109  xaddid1  12110  xnegdi  12116  xleadd1a  12121  xlt2add  12128  xsubge0  12129  xmullem  12132  xmulid1  12147  xmulgt0  12151  xmulasslem3  12154  xlemul1a  12156  xadddilem  12162  xadddi2  12165  xrsupsslem  12175  xrinfmsslem  12176  xrub  12180  reltxrnmnf  12210  isxmet2d  22179  blssioo  22645  ioombl1  23376  ismbf2d  23453  itg2seq  23554  xaddeq0  29646  iooelexlt  33340  relowlssretop  33341  iccpartiltu  41683  iccpartigtl  41684
  Copyright terms: Public domain W3C validator