MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzuzle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzuzle 11897
Description: An integer in an upper set of integers is an element of an upper set of integers with a smaller bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluzuzle ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))

Proof of Theorem eluzuzle
StepHypRef Expression
1 eluz2 11894 . 2 (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))
2 simpll 750 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 simpr2 1235 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
4 zre 11583 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
54ad2antrr 705 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 zre 11583 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
763ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
87adantl 467 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 zre 11583 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
1093ad2ant2 1128 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
1110adantl 467 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
12 simplr 752 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵𝐴)
13 simpr3 1237 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐴𝐶)
145, 8, 11, 12, 13letrd 10396 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵𝐶)
15 eluz2 11894 . . . 4 (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐶))
162, 3, 14, 15syl3anbrc 1428 . . 3 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵))
1716ex 397 . 2 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))
181, 17syl5bi 232 1 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  cr 10137  cle 10277  cz 11579  cuz 11888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-neg 10471  df-z 11580  df-uz 11889
This theorem is referenced by:  eluz2nn  11928  uzuzle23  11931  eluzge3nn  11932  setsstruct  16105  wwlksubclwwlk  27216  smonoord  41869  wtgoldbnnsum4prm  42218  bgoldbnnsum3prm  42220
  Copyright terms: Public domain W3C validator