MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzp1m1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzp1m1 11899
Description: Membership in the next upper set of integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzp1m1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem eluzp1m1
StepHypRef Expression
1 peano2zm 11608 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
21ad2antrl 766 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3 zre 11569 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4 zre 11569 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5 1re 10227 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
6 leaddsub 10692 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
75, 6mp3an2 1557 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
83, 4, 7syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
98biimpa 502 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
109anasss 682 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
112, 10jca 555 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
1211ex 449 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))))
13 peano2z 11606 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
14 eluz1 11879 . . . 4 ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
1513, 14syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
16 eluz1 11879 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))))
1712, 15, 163imtr4d 283 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
1817imp 444 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2135   class class class wbr 4800  cfv 6045  (class class class)co 6809  cr 10123  1c1 10125   + caddc 10127  cle 10263  cmin 10454  cz 11565  cuz 11875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876
This theorem is referenced by:  peano2uzr  11932  fzosplitsnm1  12733  fzofzp1b  12756  seqm1  13008  monoord  13021  seqf1olem2  13031  seqid  13036  seqz  13039  serf0  14606  fsumm1  14675  telfsumo  14729  fsumparts  14733  isumsplit  14767  climcnds  14778  fprodm1  14892  pockthlem  15807  vdwnnlem2  15898  efgs1b  18345  imasdsf1olem  22375  wwlksubclwwlk  27185  monoordxrv  40206  stoweidlem11  40727  smonoord  41847
  Copyright terms: Public domain W3C validator