MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluznn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluznn 11872
Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in . (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluznn ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn
StepHypRef Expression
1 nnuz 11837 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
21uztrn2 11818 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2103  cfv 6001  1c1 10050  cn 11133  cuz 11800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-z 11491  df-uz 11801
This theorem is referenced by:  elfzo1  12633  expmulnbnd  13111  bcval5  13220  isercolllem1  14515  isercoll  14518  o1fsum  14665  climcndslem1  14701  climcndslem2  14702  climcnds  14703  mertenslem2  14737  rpnnen2lem6  15068  rpnnen2lem7  15069  rpnnen2lem9  15071  rpnnen2lem11  15073  pcmpt2  15720  pcmptdvds  15721  prmreclem4  15746  prmreclem5  15747  prmreclem6  15748  vdwnnlem2  15823  2expltfac  15922  setsstructOLD  16022  1stcelcls  21387  lmnn  23182  cmetcaulem  23207  causs  23217  caubl  23227  caublcls  23228  ovolunlem1a  23385  volsuplem  23444  uniioombllem3  23474  mbfi1fseqlem6  23607  aaliou3lem2  24218  birthdaylem2  24799  lgamgulmlem4  24878  lgamcvg2  24901  chtub  25057  bclbnd  25125  bposlem3  25131  bposlem4  25132  bposlem5  25133  bposlem6  25134  lgsdilem2  25178  chebbnd1lem1  25278  chebbnd1lem2  25279  chebbnd1lem3  25280  dchrisumlema  25297  dchrisumlem2  25299  dchrisumlem3  25300  dchrisum0lem1b  25324  dchrisum0lem1  25325  pntrsumbnd2  25376  pntpbnd1  25395  pntpbnd2  25396  pntlemh  25408  pntlemq  25410  pntlemr  25411  pntlemj  25412  pntlemf  25414  minvecolem3  27962  minvecolem4  27966  h2hcau  28066  h2hlm  28067  chscllem2  28727  sinccvglem  31794  lmclim2  33786  geomcau  33787  heibor1lem  33840  rrncmslem  33863  divcnvg  40279  stoweidlem7  40644  stirlinglem12  40722  fourierdlem103  40846  fourierdlem104  40847
  Copyright terms: Public domain W3C validator