MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzgtdifelfzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzgtdifelfzo 12569
Description: Membership of the difference of integers in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluzgtdifelfzo ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑁𝐴) ∈ (0..^(𝑁𝐵))))

Proof of Theorem eluzgtdifelfzo
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐴))
21adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐴))
3 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
43adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5 eluzelz 11735 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
65ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
7 simprr 811 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
86, 7zsubcld 11525 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑁𝐵) ∈ ℤ)
98ancoms 468 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁𝐵) ∈ ℤ)
104, 9zaddcld 11524 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝐴 + (𝑁𝐵)) ∈ ℤ)
11 zre 11419 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
12 zre 11419 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
13 posdif 10559 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴𝐵)))
1413biimpd 219 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < (𝐴𝐵)))
1511, 12, 14syl2anr 494 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < (𝐴𝐵)))
1615adantld 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < (𝐴𝐵)))
1716imp 444 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 0 < (𝐴𝐵))
18 resubcl 10383 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
1912, 11, 18syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
2019adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
21 eluzelre 11736 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
2221ad2antrl 764 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2320, 22ltaddposd 10649 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (0 < (𝐴𝐵) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴𝐵))))
2417, 23mpbid 222 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 < (𝑁 + (𝐴𝐵)))
25 zcn 11420 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2625ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
27 eluzelcn 11737 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℂ)
2827ad2antrl 764 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℂ)
29 zcn 11420 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
3029adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3130adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32 addsub12 10332 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝑁𝐵)) = (𝑁 + (𝐴𝐵)))
3332breq2d 4697 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 < (𝐴 + (𝑁𝐵)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴𝐵))))
3426, 28, 31, 33syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁 < (𝐴 + (𝑁𝐵)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴𝐵))))
3524, 34mpbird 247 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 < (𝐴 + (𝑁𝐵)))
36 elfzo2 12512 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁𝐵))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ (𝐴 + (𝑁𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (𝐴 + (𝑁𝐵))))
372, 10, 35, 36syl3anbrc 1265 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁𝐵))))
38 fzosubel3 12568 . . 3 ((𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁𝐵))) ∧ (𝑁𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁𝐴) ∈ (0..^(𝑁𝐵)))
3937, 9, 38syl2anc 694 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁𝐴) ∈ (0..^(𝑁𝐵)))
4039ex 449 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑁𝐴) ∈ (0..^(𝑁𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   < clt 10112  cmin 10304  cz 11415  cuz 11725  ..^cfzo 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505
This theorem is referenced by:  ige2m2fzo  12570
  Copyright terms: Public domain W3C validator