MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzelre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzelre 11736
Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluzelre (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eluzelre
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11735 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
21zred 11520 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  cfv 5926  cr 9973  cuz 11725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726
This theorem is referenced by:  eluzelcn  11737  uzm1  11756  uzsplit  12450  fzneuz  12459  fzouzsplit  12542  fzouzdisj  12543  fzoun  12544  eluzgtdifelfzo  12569  elfzonelfzo  12610  fldiv4lem1div2uz2  12677  mulp1mod1  12751  m1modge3gt1  12757  om2uzlt2i  12790  bernneq3  13032  hashfzp1  13256  seqcoll  13286  seqcoll2  13287  rexuzre  14136  rlimclim1  14320  climrlim2  14322  isprm5  15466  isprm7  15467  ncoprmlnprm  15483  dfphi2  15526  pclem  15590  pcmpt  15643  pockthg  15657  prmlem1  15861  prmlem2  15874  setsstructOLD  15946  mtest  24203  logbleb  24566  isppw  24885  chtdif  24929  chtub  24982  fsumvma2  24984  chpval2  24988  bpos1lem  25052  bpos1  25053  gausslemma2dlem4  25139  chebbnd1lem1  25203  dchrisumlem2  25224  axlowdimlem16  25882  axlowdimlem17  25883  crctcshwlkn0lem5  26762  fzspl  29678  supfz  31739  nn0prpwlem  32442  rmspecsqrtnq  37787  rmspecsqrtnqOLD  37788  rmspecnonsq  37789  rmspecfund  37791  rmspecpos  37798  rmxypos  37831  ltrmynn0  37832  ltrmxnn0  37833  jm2.24nn  37843  jm2.17a  37844  jm2.17b  37845  jm2.17c  37846  jm3.1lem1  37901  jm3.1lem2  37902  climsuselem1  40157  climsuse  40158  limsupequzlem  40272  limsupmnfuzlem  40276  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467  itgspltprt  40513  stoweidlem14  40549  wallispilem3  40602  stirlinglem11  40619  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  iccpartigtl  41684  fmtnoprmfac2lem1  41803  fmtno4prmfac  41809  lighneallem4a  41850  gboge9  41977  nnsum3primesle9  42007  bgoldbnnsum3prm  42017  bgoldbtbndlem3  42020  bgoldbtbndlem4  42021  bgoldbtbnd  42022  expnegico01  42633  fllog2  42687  dignn0ldlem  42721  dignnld  42722  digexp  42726  dignn0flhalf  42737
  Copyright terms: Public domain W3C validator