MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz2nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluz2nn 11933
Description: An integer is greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluz2nn (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn
StepHypRef Expression
1 1z 11614 . . 3 1 ∈ ℤ
2 1le2 11448 . . 3 1 ≤ 2
3 eluzuzle 11902 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ‘1)))
41, 2, 3mp2an 672 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
5 nnuz 11930 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5syl6eleqr 2861 1 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145   class class class wbr 4787  cfv 6030  1c1 10143  cle 10281  cn 11226  2c2 11276  cz 11584  cuz 11893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-z 11585  df-uz 11894
This theorem is referenced by:  eluzge2nn0  11934  eluz2n0  11935  zgt1rpn0n1  12074  mulp1mod1  12919  relexpaddg  14001  ncoprmgcdne1b  15571  isprm3  15603  prmind2  15605  nprm  15608  exprmfct  15623  prmdvdsfz  15624  isprm5  15626  maxprmfct  15628  isprm6  15633  phibndlem  15682  phibnd  15683  dfphi2  15686  pclem  15750  pcprendvds2  15753  pcpre1  15754  dvdsprmpweqnn  15796  expnprm  15813  prmreclem1  15827  4sqlem15  15870  4sqlem16  15871  vdwlem5  15896  vdwlem6  15897  vdwlem8  15899  vdwlem9  15900  vdwlem11  15902  prmgaplem1  15960  prmgaplem2  15961  prmgaplcmlem2  15963  prmgapprmolem  15972  ovolicc1  23504  wilth  25018  wilthimp  25019  mersenne  25173  bposlem3  25232  lgsquad2lem2  25331  2sqlem6  25369  rplogsumlem1  25394  rplogsumlem2  25395  dchrisum0flblem2  25419  ostthlem2  25538  ostth2lem2  25544  axlowdimlem5  26047  clwwisshclwwslemlem  27163  dlwwlknonclwlknonf1olem1  27553  dlwwlknondlwlknonf1o  27554  dlwwlknondlwlknonf1oOLD  27556  numclwwlk3lemOLD  27580  signstfveq0  30994  subfacval3  31509  rmspecsqrtnq  37996  rmspecsqrtnqOLD  37997  rmxypos  38040  ltrmynn0  38041  jm2.17a  38053  jm2.17b  38054  jm2.17c  38055  jm2.27c  38100  jm3.1lem1  38110  jm3.1lem2  38111  jm3.1lem3  38112  relexpaddss  38536  wallispilem3  40798  fmtnonn  41968  fmtnorec3  41985  fmtnorec4  41986  fmtnoprmfac2lem1  42003  fmtnoprmfac2  42004  prmdvdsfmtnof1lem1  42021  prmdvdsfmtnof  42023  lighneallem4a  42050  lighneallem4b  42051  wtgoldbnnsum4prm  42215  bgoldbnnsum3prm  42217  cznnring  42481  expnegico01  42833  fllogbd  42879  logbge0b  42882  logblt1b  42883  nnolog2flm1  42909  blennngt2o2  42911  blengt1fldiv2p1  42912  dignn0ldlem  42921  dignnld  42922  digexp  42926  dig1  42927
  Copyright terms: Public domain W3C validator