Theorem eluz 11814

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 11804	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
2	1	baibd 986	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2103   class class class wbr 4760  ‘cfv 6001   ≤ cle 10188  ℤcz 11490  ℤ_≥cuz 11800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pr 5011  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fv 6009  df-ov 6768  df-neg 10382  df-z 11491  df-uz 11801

This theorem is referenced by:  uzneg  11819  uztric  11822  uzwo3  11897  fzn  12471  fzsplit2  12480  fznn  12522  uzsplit  12526  elfz2nn0  12545  fzouzsplit  12618  faclbnd  13192  bcval5  13220  fz1isolem  13358  seqcoll  13361  rexuzre  14212  caurcvg  14527  caucvg  14529  summolem2a  14566  fsum0diaglem  14628  climcnds  14703  mertenslem1  14736  ntrivcvgmullem  14753  prodmolem2a  14784  ruclem10  15088  eulerthlem2  15610  pcpremul  15671  pcdvdsb  15696  pcadd  15716  pcfac  15726  pcbc  15727  prmunb  15741  prmreclem5  15747  vdwnnlem3  15824  lt6abl  18417  ovolunlem1a  23385  mbflimsup  23553  plyco0  24068  plyeq0lem  24086  aannenlem1  24203  aaliou3lem2  24218  aaliou3lem8  24220  chtublem  25056  bcmax  25123  bpos1lem  25127  bposlem1  25129  axlowdimlem16  25957  fzsplit3  29783  ballotlem2  30780  ballotlemimin  30797  breprexplemc  30940  elfzm12  31797  poimirlem3  33644  poimirlem4  33645  poimirlem28  33669  mblfinlem2  33679  incsequz  33776  incsequz2  33777  nacsfix  37694  ellz1  37749  eluzrabdioph  37789  monotuz  37925  expdiophlem1  38007  nznngen  38934  fzisoeu  39930  fmul01  40232  climsuselem1  40259  climsuse  40260  iblspltprt  40609  itgspltprt  40615  wallispilem5  40706  stirlinglem8  40718  dirkertrigeqlem1  40735  fourierdlem12  40756  ssfz12  41751