MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltsms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltsms 21983
Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
eltsms.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
eltsms.s 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a (𝜑𝐴𝑉)
eltsms.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
eltsms (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑧,𝑢,𝐹,𝑦   𝑢,𝐺,𝑦,𝑧   𝑢,𝐽,𝑧   𝑧,𝐴   𝜑,𝑢,𝑦,𝑧   𝑢,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑢)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑢)

Proof of Theorem eltsms
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltsms.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eltsms.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3 eltsms.s . . . 4 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
4 eqid 2651 . . . 4 ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) = ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})
5 eltsms.1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 eltsms.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
7 eltsms.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7tsmsval 21981 . . 3 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))))
98eleq2d 2716 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))))))
10 eltsms.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
111, 2istps 20786 . . . 4 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
1210, 11sylib 208 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
13 eqid 2651 . . . 4 (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) = (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})
143, 13, 4, 6tsmsfbas 21978 . . 3 (𝜑 → ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆))
151, 3, 5, 6, 7tsmslem1 21979 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
16 eqid 2651 . . . 4 (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
1715, 16fmptd 6425 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))):𝑆𝐵)
18 eqid 2651 . . . 4 (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})) = (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}))
1918flffbas 21846 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆) ∧ (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))):𝑆𝐵) → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
2012, 14, 17, 19syl3anc 1366 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
21 pwexg 4880 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
22 inex1g 4834 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
236, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
243, 23syl5eqel 2734 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ V)
2524adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐽) → 𝑆 ∈ V)
26 rabexg 4844 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ V → {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝐽) → {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V)
2827ralrimivw 2996 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝐽) → ∀𝑧𝑆 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V)
29 imaeq2 5497 . . . . . . . . 9 (𝑤 = {𝑦𝑆𝑧𝑦} → ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) = ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}))
3029sseq1d 3665 . . . . . . . 8 (𝑤 = {𝑦𝑆𝑧𝑦} → (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢))
3113, 30rexrnmpt 6409 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑆 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢))
3228, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢))
33 funmpt 5964 . . . . . . . . 9 Fun (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
34 ssrab2 3720 . . . . . . . . . 10 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ 𝑆
35 ovex 6718 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ V
3635, 16dmmpti 6061 . . . . . . . . . 10 dom (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) = 𝑆
3734, 36sseqtr4i 3671 . . . . . . . . 9 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ dom (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
38 funimass3 6373 . . . . . . . . 9 ((Fun (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) ∧ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ dom (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))) → (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢)))
3933, 37, 38mp2an 708 . . . . . . . 8 (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢))
4016mptpreima 5666 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢) = {𝑦𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢}
4140sseq2i 3663 . . . . . . . 8 ({𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢) ↔ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ {𝑦𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢})
42 ss2rab 3711 . . . . . . . 8 ({𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ {𝑦𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢} ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
4339, 41, 423bitri 286 . . . . . . 7 (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
4443rexbii 3070 . . . . . 6 (∃𝑧𝑆 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
4532, 44syl6bb 276 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
4645imbi2d 329 . . . 4 ((𝜑𝑢𝐽) → ((𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
4746ralbidva 3014 . . 3 (𝜑 → (∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
4847anbi2d 740 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
499, 20, 483bitrd 294 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  𝒫 cpw 4191  cmpt 4762  ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  cima 5146  Fun wfun 5920  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  Basecbs 15904  TopOpenctopn 16129   Σg cgsu 16148  CMndccmn 18239  fBascfbas 19782  filGencfg 19783  TopOnctopon 20763  TopSpctps 20784   fLimf cflf 21786   tsums ctsu 21976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-ntr 20872  df-nei 20950  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-tsms 21977
This theorem is referenced by:  tsmsi  21984  tsmscl  21985  tsmsgsum  21989  tsmssubm  21993  tsmsres  21994  tsmsf1o  21995  tsmsxp  22005  xrge0tsms  22684  xrge0tsmsd  29913
  Copyright terms: Public domain W3C validator