MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltop2 20999
Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
eltop2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴𝐽 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem eltop2
StepHypRef Expression
1 tgtop 20997 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
21eleq2d 2835 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ 𝐴𝐽))
3 eltg2b 20983 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
42, 3bitr3d 270 1 (𝐽 ∈ Top → (𝐴𝐽 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wcel 2144  wral 3060  wrex 3061  wss 3721  cfv 6031  topGenctg 16305  Topctop 20917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-topgen 16311  df-top 20918
This theorem is referenced by:  isclo  21111  cncnp  21304  ist1-2  21371  hauscmp  21430  llycmpkgen2  21573  ptpjopn  21635  txkgen  21675  xkococn  21683  xkoinjcn  21710  fclscf  22048  subgntr  22129  opnsubg  22130  qustgpopn  22142  prdsxmslem2  22553  zdis  22838  efopn  24624  cvmopnlem  31592  neibastop3  32688  ioorrnopn  41036  ioorrnopnxr  41038
  Copyright terms: Public domain W3C validator