MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltg3i 20987
Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg3i ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem eltg3i
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
2 pwuni 4626 . . . . 5 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴
31, 2jctir 562 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴))
4 ssin 3978 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
53, 4sylib 208 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
65unissd 4614 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
7 eltg 20983 . . 3 (𝐵𝑉 → ( 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
87adantr 472 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → ( 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
96, 8mpbird 247 1 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2139  cin 3714  wss 3715  𝒫 cpw 4302   cuni 4588  cfv 6049  topGenctg 16320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-topgen 16326
This theorem is referenced by:  eltg3  20988  tgiun  21005  tgidm  21006  tgrest  21185  leordtval2  21238  fnemeet1  32688  fnejoin2  32691  ontgval  32757
  Copyright terms: Public domain W3C validator