MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltg2b 20957
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg2b (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem eltg2b
StepHypRef Expression
1 eltg2 20956 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
2 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑦𝐴) → 𝑥𝑦)
32reximi 3141 . . . . . 6 (∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
4 eluni2 4584 . . . . . 6 (𝑥 𝐵 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
53, 4sylibr 224 . . . . 5 (∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) → 𝑥 𝐵)
65ralimi 3082 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) → ∀𝑥𝐴 𝑥 𝐵)
7 dfss3 3725 . . . 4 (𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 𝐵)
86, 7sylibr 224 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) → 𝐴 𝐵)
98pm4.71ri 668 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
101, 9syl6bbr 278 1 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2131  wral 3042  wrex 3043  wss 3707   cuni 4580  cfv 6041  topGenctg 16292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fv 6049  df-topgen 16298
This theorem is referenced by:  tg2  20963  tgcl  20967  eltop2  20973  tgss2  20985  basgen2  20987  2ndc1stc  21448  eltx  21565  tgqioo  22796  isfne2  32635
  Copyright terms: Public domain W3C validator