MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elsuppfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elsuppfn 7348
Description: An element of the support of a function with a given domain. (Contributed by AV, 27-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
elsuppfn ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑆𝑋 ∧ (𝐹𝑆) ≠ 𝑍)))

Proof of Theorem elsuppfn
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suppvalfn 7347 . . 3 ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖𝑋 ∣ (𝐹𝑖) ≠ 𝑍})
21eleq2d 2716 . 2 ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ 𝑆 ∈ {𝑖𝑋 ∣ (𝐹𝑖) ≠ 𝑍}))
3 fveq2 6229 . . . 4 (𝑖 = 𝑆 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑆))
43neeq1d 2882 . . 3 (𝑖 = 𝑆 → ((𝐹𝑖) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹𝑆) ≠ 𝑍))
54elrab 3396 . 2 (𝑆 ∈ {𝑖𝑋 ∣ (𝐹𝑖) ≠ 𝑍} ↔ (𝑆𝑋 ∧ (𝐹𝑆) ≠ 𝑍))
62, 5syl6bb 276 1 ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑆𝑋 ∧ (𝐹𝑆) ≠ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945   Fn wfn 5921  cfv 5926  (class class class)co 6690   supp csupp 7340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-supp 7341
This theorem is referenced by:  fvn0elsupp  7356  fvn0elsuppb  7357  rexsupp  7358  suppss  7370  suppssr  7371  wemapso2lem  8498  cantnfle  8606  cantnfp1lem2  8614  cantnfp1lem3  8615  cantnfp1  8616  cantnflem1a  8620  cantnflem3  8626  cnfcomlem  8634  cnfcom3  8639  suppssfz  12834  ciclcl  16509  cicrcl  16510  mdegleb  23869  fdivmptf  42660  refdivmptf  42661
  Copyright terms: Public domain W3C validator