Theorem elrestr 16291

Description: Sufficient condition for being an open set in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrestr	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆))

Proof of Theorem elrestr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝐴 ∩ 𝑆)
2		ineq1 3950	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∩ 𝑆) = (𝐴 ∩ 𝑆))
3	2	eqeq2d 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆) ↔ (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝐴 ∩ 𝑆)))
4	3	rspcev 3449	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝐴 ∩ 𝑆)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆))
5	1, 4	mpan2 709	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆))
6		elrest 16290	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆)))
7	5, 6	syl5ibr 236	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆)))
8	7	3impia 1110	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051   ∩ cin 3714  (class class class)co 6813   ↾_t crest 16283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-rest 16285

This theorem is referenced by:  firest  16295  restbas  21164  tgrest  21165  resttopon  21167  restcld  21178  restfpw  21185  neitr  21186  restntr  21188  ordtrest  21208  cnrest  21291  lmss  21304  connsubclo  21429  restnlly  21487  islly2  21489  cldllycmp  21500  lly1stc  21501  kgenss  21548  xkococnlem  21664  xkoinjcn  21692  qtoprest  21722  trfbas2  21848  trfil1  21891  trfil2  21892  fgtr  21895  trfg  21896  uzrest  21902  trufil  21915  flimrest  21988  cnextcn  22072  trust  22234  restutop  22242  trcfilu  22299  cfiluweak  22300  xrsmopn  22816  zdis  22820  xrge0tsms  22838  cnheibor  22955  cfilres  23294  lhop2  23977  psercn  24379  xrlimcnp  24894  xrge0tsmsd  30094  ordtrestNEW  30276  pnfneige0  30306  lmxrge0  30307  rrhre  30374  cvmscld  31562  cvmopnlem  31567  cvmliftmolem1  31570  poimirlem30  33752  subspopn  33861  iocopn  40249  icoopn  40254  limcresiooub  40377  limcresioolb  40378  fourierdlem32  40859  fourierdlem33  40860  fourierdlem48  40874  fourierdlem49  40875