Theorem elrest 16261

Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrest	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem elrest

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restval 16260	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)))
2	1	eleq2d 2813	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵))))
3		eqid 2748	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵))
4		vex 3331	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	inex1 4939	. . 3 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V
6	3, 5	elrnmpti 5519	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵))
7	2, 6	syl6bb 276	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  ∃wrex 3039   ∩ cin 3702   ↦ cmpt 4869  ran crn 5255  (class class class)co 6801   ↾_t crest 16254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pr 5043  ax-un 7102

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-rest 16256

This theorem is referenced by:  elrestr  16262  restsspw  16265  firest  16266  restbas  21135  restsn  21147  restcld  21149  restopnb  21152  ssrest  21153  neitr  21157  restntr  21159  cnrest2  21263  cnpresti  21265  cnprest  21266  cnprest2  21267  lmss  21275  cmpsublem  21375  cmpsub  21376  connsuba  21396  1stcrest  21429  subislly  21457  cldllycmp  21471  txrest  21607  trfbas2  21819  trfbas  21820  trfil2  21863  flimrest  21959  fclsrest  22000  cnextcn  22043  tsmssubm  22118  trust  22205  restutop  22213  restutopopn  22214  trcfilu  22270  metrest  22501  xrtgioo  22781  xrge0tsms  22809  icoopnst  22910  iocopnst  22911  subopnmbl  23543  mbfimaopn2  23594  xrlimcnp  24865  xrge0tsmsd  30065  bj-restsn  33312  bj-rest10  33318  bj-restn0  33320  bj-restpw  33322  bj-rest0  33323  bj-restb  33324  bj-restuni  33327  bj-restreg  33329  ptrest  33690  poimirlem29  33720  elrestd  39759  restuni3  39769  icccncfext  40572  subsaliuncl  41048  subsalsal  41049  sssmf  41422  incsmf  41426  decsmf  41450  smflimlem6  41459  smfco  41484  smfpimcc  41489