MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrege0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrege0 12316
Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elrege0 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0
StepHypRef Expression
1 0re 10078 . 2 0 ∈ ℝ
2 elicopnf 12307 . 2 (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
31, 2ax-mp 5 1 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  cle 10113  [,)cico 12215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-ico 12219
This theorem is referenced by:  nn0rp0  12317  rge0ssre  12318  0e0icopnf  12320  ge0addcl  12322  ge0mulcl  12323  fsumge0  14571  fprodge0  14768  isabvd  18868  abvge0  18873  nmolb  22568  nmoge0  22572  nmoi  22579  icopnfcnv  22788  cphsqrtcl  23030  tchcph  23082  ovolfsf  23286  ovolmge0  23291  ovolunlem1a  23310  ovoliunlem1  23316  ovolicc2lem4  23334  ioombl1lem4  23375  uniioombllem2  23397  uniioombllem6  23402  0plef  23484  i1fpos  23518  mbfi1fseqlem1  23527  mbfi1fseqlem3  23529  mbfi1fseqlem4  23530  mbfi1fseqlem5  23531  mbfi1fseqlem6  23532  mbfi1flimlem  23534  itg2const  23552  itg2const2  23553  itg2mulclem  23558  itg2mulc  23559  itg2monolem1  23562  itg2mono  23565  itg2addlem  23570  itg2gt0  23572  itg2cnlem1  23573  itg2cnlem2  23574  itg2cn  23575  iblconst  23629  itgconst  23630  ibladdlem  23631  itgaddlem1  23634  iblabslem  23639  iblabs  23640  iblmulc2  23642  itgmulc2lem1  23643  bddmulibl  23650  itggt0  23653  itgcn  23654  dvge0  23814  dvle  23815  dvfsumrlim  23839  cxpcn3lem  24533  cxpcn3  24534  resqrtcn  24535  loglesqrt  24544  areaf  24733  areacl  24734  areage0  24735  rlimcnp3  24739  jensenlem2  24759  jensen  24760  amgmlem  24761  amgm  24762  dchrisumlem3  25225  dchrmusumlema  25227  dchrmusum2  25228  dchrvmasumlem2  25232  dchrvmasumiflem1  25235  dchrisum0lema  25248  dchrisum0lem1b  25249  dchrisum0lem1  25250  dchrisum0lem2  25252  axcontlem2  25890  axcontlem7  25895  axcontlem8  25896  axcontlem10  25898  rge0scvg  30123  esumpcvgval  30268  hasheuni  30275  esumcvg  30276  sibfof  30530  mbfposadd  33587  itg2addnclem2  33592  itg2addnclem3  33593  itg2addnc  33594  itg2gt0cn  33595  ibladdnclem  33596  itgaddnclem1  33598  iblabsnclem  33603  iblabsnc  33604  iblmulc2nc  33605  itgmulc2nclem1  33606  bddiblnc  33610  itggt0cn  33612  ftc1anclem3  33617  ftc1anclem4  33618  ftc1anclem5  33619  ftc1anclem6  33620  ftc1anclem7  33621  ftc1anclem8  33622  areacirclem2  33631  sge0iunmptlemfi  40948  digvalnn0  42718  nn0digval  42719  dignn0fr  42720  dig2nn1st  42724  digexp  42726
  Copyright terms: Public domain W3C validator